高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第一册) 专题02 充分条件、必要条件、全称量词、存在量词（知识精讲）（解析版）

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专题二充分条件、必要条件、全称量词、存在量词

知识精讲

一知识结构图

内容考点关注点

充分条件、必要条

件、全称量词、存在量词

充分条件、必要条件谁是条件，谁是结论

充要条件充分性与必要性的证明方向

含有一个量词的命题的否定量词改变，结论否定

二.学法指导

1.定义法判断充分条件、必要条件

1确定谁是条件，谁是结论；

2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；

3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。

2. 充要条件的证明策略

1要证明一个条件 p是否是 q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个

命题“若 p，则 q”为真且“若 q，则 p”为真.

2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明 p与q的解集是相同的，证明前必须

分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.

3．利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围

1化简 p，q两命题；

2根据 p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；

3利用集合间的关系建立不等式；

4求解参数范围.

4.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：

1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 M中的每个元素 x证明 px成立；但要

判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合 M中的一个 x，使得 px不成立即可这就是通常所说

的“举出一个反例”.

2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合 M中，能找到一个 x使px成立即可；

否则，这个存在量词命题就是假命题.

5.含有一个量词的命题的否定的方法

(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词

命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，

同时否定结论．

(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则

来写出命题的否定．

三.知识点贯通

知识点 1 充分条件、必要条件的判断

1. 若p⇒q，则 p是q的充分条件，q是p的必要条件。

2.若p⇒q，但 q p，则称 p是q的充分不必要条件．

3.若q⇒p，但 p q，则称 p是q的必要不充分条件．

4、若 p q，且 q p，则称 p是q的既不充分也不必要条件．

例1.指出下列各题中 p是q的什么条件．

(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.

(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．

(3)p：a＞b，q：ac＞bc.

【答案】(1)p是q的充分不必要条件；(2)p是q的必要不充分条件；(3)p是q的既不充分也不必要

条件．

【解析】(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故 p是q的充分不必要条件．

(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故 p是q的必要

不充分条件．

(3)a＞b ac＞bc，且 ac＞bc a＞b，

故p是q的既不充分也不必要条件．

知识点二充分条件、必要条件、充要条件的应用

1.记集合 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若 p是q的充分不必要条件，则 A B，若 p是q的必要不充分

条件，则 B A.

2.记集合 M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若 M⊆N，则 p是q的充分条件，若 N⊆M，则 p是q的必要条

件，若 M＝N，则 p是q的充要条件．

例题 2：已知 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若 p是q的充分不必要条件，则实数 m的取

值范围为________．

【答案】{m|m≥9}

【解析】：因为 p是q的充分不必要条件，所以 p⇒q且q p.

即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以或解得 m≥9.

所以实数 m的取值范围为{m|m≥9}

知识点三充要条件的证明

1.一般地，如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充

要条件．概括地说，如果 p⇔q，那么 p与q互为充要条件．

例题 3 .求证：关于 x的方程 ax2＋bx＋c＝0有一个根是 1的充要条件是 a＋b＋c＝0.

【解析】　假设 p：方程 ax2＋bx＋c＝0有一个根是 1，

q：a＋b＋c＝0.

①证明p⇒q，即证明必要性．

∵x＝1是方程 ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即 a＋b＋c＝0.

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