高一数学新教材同步课堂精讲练导学案10.2 事件的相互独立性（解析版）

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10.2 事件的相互独立性

导学案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.理解相互独立事件的定义及意义

2.理解概率的乘法公式

【自主学习】

知识点 1 事件的相互独立性

1．定义

对于任意两个事件 A与B，如果 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) 成立，则事件 A与事件 B相互独立，简称

为独立．

2．性质

当事件 A，B相互独立时，A与，与B，与也相互独立．

3．n个事件相互独立

对于 n个事件 A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的

影响，则称 n个事件 A1，A2，…，An相互独立．

4．n个相互独立事件的概率公式

如果事件 A1，A2，…，An相互独立，那么这 n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的

概率的积，即 P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中任意多个事件 Ai换成

其对立事件后等式仍成立．

【合作探究】

探究一相互独立事件的判断

【例 1】判断下列各对事件是否是相互独立事件．

(1)甲组 3名男生，2名女生；乙组 2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选 1名同学参

加演讲比赛，“从甲组中选出 1名男生”与“从乙组中选出 1名女生”；

(2)容器内盛有 5个白乒乓球和 3个黄乒乓球，“从 8个球中任意取出 1个，取出的是白

球”与“从剩下的 7个球中任意取出 1个，取出的还是白球”；

(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3点或 6点”．

[分析]　(1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从 8个球中任取一球是

白球”发生与否，事件“从剩下的 7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行

判断．(3)利用事件的独立性定义式判断．

[解]　(1)“从甲组中选出 1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出 1名女

生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．

(2)“从8个球中任意取出 1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则

“从剩下的 7个球中任意取出 1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，

则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所

以二者不是相互独立事件．

(3)记A＝“出现偶数点”，B＝“出现 3点或 6点”，则 A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB

＝{6}，

∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝.∴P(A∩B)＝P(A)P(B)，

∴事件 A与B相互独立．

归纳总结：判断事件是否相互独立的方法

1.定义法：事件 A，B相互独立⇔PA∩B＝PA·PB.

2.由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.

【练习 1】(1)一袋中装有 100 只球，其中有 20 只白球，在有放回地摸球中，记 A1＝“第一

次摸得白球”，A2＝“第二次摸得白球”，则事件 A1与是(　　)

A．相互独立事件 B．对立事件

C．互斥事件 D．无法判断

(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件 A＝“甲击中目标”，事件 B＝“乙击中目

标”，则事件 A与事件 B(　　)

A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立

C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥

【答案】（1）A （2）A

解析：(1)由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球，对下次摸球结果没有影响，故

事件 A1，是相互独立事件．

(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件 A与B相互独立

对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件 A与B可能同时发生，

所以事件 A与B不是互斥事件．故选 A.

探究二相互独立事件发生的概率

【例 2】在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，

已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的

概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的．

(1)求乙答对这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率．

[分析]　(1)设乙答对这道题的概率为 x，由对立事件概率关系和相互独立事件概率乘

法公式，求出乙答对这道题的概率；

(2)设丙答对这道题的概率 y，由相互独立事件概率乘法公式，求出丙答对这道题的概

率和甲、乙、丙三人都回答错误的概率，再由对立事件的概率公式，求得答案．

[解]　(1)记甲、乙、丙 3人独自答对这道题分别为事件 A，B，C，

设乙答对这道题的概率 P(B)＝x，

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