高一数学新教材同步课堂精讲练导学案8.6.3 平面与平面垂直的性质2课时（解析版）

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8.6.3 平面与平面垂直的性质

导学案

编写：廖云波初审：谭光垠终审：谭光垠廖云波

【学习目标】

1.记住平面与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题

2.能综合运用直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定和性质解决有关问题

【自主学习】

知识点 1 平面与平面垂直的性质定理

1．文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，

那么这条直线与另一个平面垂直．

2．符号语言：⇒a⊥β.

3．图形语言：

【合作探究】

探究一面面垂直性质定理的应用

【例 1】如图所示，P是四边形 ABCD 所在平面外的一点，四边形 ABCD 是∠DAB＝60°的

菱形，侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.若G为AD 边的中点，求证：

BG⊥平面 PAD.

[分析]　解答本题可先由面面垂直依据面面垂直的性质定理得线面垂直．

[证明]　连接 BD，

∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60°，

∴△ABD 是正三角形．

∵G是AD 的中点，∴BG⊥AD.

又平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，

∴BG⊥平面 PAD.

归纳总结：证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面

垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质

定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：1两个平面垂直；2直线必须在其中一

个平面内；3直线必须垂直于它们的交线

【练习 1】如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，BC∥平面 PAD，∠PBC＝

90°，∠PBA≠90°.求证：

(1)AD∥平面 PBC；

(2)平面 PBC⊥平面 PAB.

证明：(1)因为 BC∥平面 PAD，而 BC⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 PAD＝AD，所

以BC∥AD.因为 AD⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，所以 AD∥平面 PBC.

(2)如图，自 P点作 PH⊥AB 于H，因为平面 PAB⊥平面 ABCD，且平面 PAB∩平面

ABCD＝AB，所以 PH⊥平面 ABCD.

因为 BC⊂平面 ABCD，

所以 BC⊥PH.

因为∠PBC＝90°，所以 BC⊥PB，

而∠PBA≠90°，于是点 H与B不重合，

即PB∩PH＝P.

因为 PB，PH⊂平面 PAB，

所以 BC⊥平面 PAB.

因为 BC⊂平面 PBC，

故平面 PBC⊥平面 PAB.

探究二垂直关系的综合应用

【例 2】如图，在四棱锥 PABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD⊥平面

ABCD，PA⊥AD，E和F分别为 CD 和PC 的中点，求证：

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