高一数学新教材同步课堂精讲练导学案8.6.3 平面与平面垂直的判定1课时（解析版）

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8.6.3 平面与平面垂直的判定

导学案

编写：廖云波初审：谭光垠终审：谭光垠廖云波

【学习目标】

1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小

2.理解两平面垂直的定义

3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题

【自主学习】

知识点 1　二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．

(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．

(3)画法：

(4)记法：二面角 α － l － β

或α － AB － β

或P － l － Q

或P－AB－Q.

(5)二面角的平面角：若有① O∈l；② OA⊂α，OB⊂β；③ OA⊥l，OB⊥l，则二面角 α－l－

β的平面角是∠ AOB .

知识点 2　平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直

① 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互

相垂直．

② 画法：

③ 记作：α ⊥ β .

(2)判定定理

文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

图形语言

符号语言 l⊥α，l ⊂ β ⇒α⊥β

【合作探究】

探究一二面角的概念及求法

【例 1】如图，四边形 ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，且 PA＝AB.

(1)求二面角 APDC 平面角的度数；

(2)求二面角 BPAD 平面角的度数；

(3)求二面角 BPAC 平面角的度数．

[分析]　(1)证明平面 PAD⊥平面 PCD；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平

面角的定义，最后在三角形中求角的大小．

[解]　(1)∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥CD.

又四边形 ABCD 为正方形，∴CD⊥AD.

PA∩AD＝A，∴CD⊥平面 PAD.

又CD⊂平面 PCD，∴平面 PAD⊥平面 PCD.

∴二面角 APDC 平面角的度数为 90°.

(2)∵PA⊥平面 ABCD，

∴AB⊥PA，AD⊥PA.

∴∠BAD 为二面角 BPAD 的平面角．

又由题意知∠BAD＝90°，

∴二面角 BPAD 平面角的度数为 90°.

(3)∵PA⊥平面 ABCD，

∴AB⊥PA，AC⊥PA.

∴∠BAC 为二面角 BPAC 的平面角．

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