高一数学新教材同步课堂精讲练导学案8.6.1 直线与直线垂直（解析版）

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8.6.1 直线与直线垂直

导学案

编写：廖云波初审：谭光垠终审：谭光垠廖云波

【学习目标】

1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直

线．

2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单

异面直线所成的角

【自主学习】

知识点 1 异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O分别作直线 a′∥a，b′∥b，我们把直

线a′与b′所成的角叫做异面直线 a与b所成的角(或夹角)．

(2)异面直线所成的角 θ的取值范围：0°<θ≤90°.

(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作 a ⊥ b .

【合作探究】

探究一异面直线所成的角

【例 1】如图，已知正方体 ABCDA′B′C′D′.

(1)哪些棱所在直线与直线 BA′是异面直线？

(2)直线 BA′和CC′的夹角是多少？

(3)哪些棱所在的直线与直线 AA′垂直？

[解]　(1)由异面直线的定义可知，棱 AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线

BA′是异面直线．

(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线 BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线 BA′和

CC′的夹角为 45°.

(3)直线 AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线 AA′垂直．

归纳总结：“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性，即过空

间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角 或直角都是相等的，

而与所取点的位置无关.

【练习 1】如图，已知在长方体 ABCDA′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.

(1)BC 和A′C′所成的角是多少度？

(2)AA′和BC′所成的角是多少度？

[解]　(1)因为 BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线 A′C′与BC 所成的角．在 Rt△A′B′C′中，A′B

′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.

(2)因为 AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线 AA′和BC′所成的角．

在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，

所以 BC′＝4，∠B′BC′＝60°.

因此，异面直线 AA′与BC′所成的角为 60°.

探究二直线与直线垂直的证明

【例 2】如图所示，正方体 AC1中，E、F分别是 A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.

[解]　法一：如图所示，连接 A1C1，B1D1，并设它们相交于点 O，取

DD1的中点 G，连接 OG，A1G，C1G.

则OG∥B1D，EF∥A1C1.

∴∠GOA1为异面直线 DB1与EF 所成的角或其补角．

∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，

∴GO⊥A1C1.

∴异面直线 DB1与EF 所成的角为 90°.

∴DB1⊥EF.

法二：如图所示，连接 A1D，取 A1D的中点 H，连接 HE，

则HEDB1.于是∠HEF 为所求

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