高一数学新教材同步课堂精讲练导学案8.5.3 平面与平面平行的性质2课时（解析版）

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8.5.3 平面与平面平行的性质

导学案

编写：廖云波初审：谭光垠终审：谭光垠廖云波

【学习目标】

1.理解并能证明两个平面平行的性质定理

2.能利用性质定理解决有关的平行问题

【自主学习】

知识点 1 平面与平面平行的性质

文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a ∥ b

图形语言

【合作探究】

探究一面面平行性质定理的理解

【例 1】(1)平面 α∥平面 β，直线 a⊂α，直线 b⊂β，下面三种情形：

①a∥b；② a与b异面；③ a与b相交，其中可能出现的情形有(　　)

A．1种 B．2种

C．3种 D．0种

(2)给出三种说法：

① 若平面 α∥平面 β，平面 β∥平面 γ，则平面 α∥平面 γ；

② 若平面 α∥平面 β，直线 a与α相交，则 a与β相交；

③ 若平面 α∥平面 β，P∈α，PQ∥β，则 PQ⊂α.

其中正确说法的序号是________．

【答案】　(1)B　(2)①②③

[解析]　(1)因为平面 α∥平面 β，直线 a⊂α，直线 b⊂β，所以直线 a与直线 b无公共点．

当直线 a与直线 b共面时，a∥b；

综上知，①②都有可能出现，共有 2种情形．故选 B.

(2)①正确．证明如下：如图(1)，在平面 α内取两条相交直线 a、b，分别过 a、b作平面

φ，δ，使它们分别与平面 β交于两相交直线 a′、b′，因为 α∥β，所以 a∥a′，b∥b′.又因为

β∥γ，同理在平面 γ内存在两相交直线 a″，b″，使得 a′∥a″，b′∥b″，所以 a∥a″，b∥b″，所

以α∥γ.

②正确．若直线 a与平面 β平行或直线 a⊂β，则由平面 α∥平面 β知a与α无公共点或

a⊂α，这与直线 a与α相交矛盾，所以 a与β相交．

③正确．如图 (2) ，过直线 PQ 作平面 γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由 α∥β得a∥b.因为

PQ∥β，PQ⊂γ，所以 PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直

线a与直线 PQ 重合．因为 a⊂α，所以 PQ⊂α.

归纳总结：面面平行的性质定理是由面面平行证明线线平行.证明线线平行的关键是把要证

明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平

面，有时需要添加辅助面.

【练习 1】与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(　　)

A．都平行

B．在这两个平面内

C．都相交

D．至少与其中一个平面平行

【答案】D

解析：当直线在其中一个平面内时，直线与另一平面平行，当直线不属于任一平面内时，

直线与两个平面都平行

探究二平面与平面平行性质定理的应用

【例 2】如图所示，两条异面直线 BA，DC 与两平行平面 α，β分别交于 B，A点和 D，C点，

M，N分别是 AB，CD 的中点．求证：MN∥平面 α.

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