高一数学新教材同步课堂精讲练导学案7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（解析版）

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7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

导学案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题

2.注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法

【自主学习】

知识点 1 复数的三角形式的运算

设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则

(1)乘法：z1· z 2＝ r 1r2[cos( θ 1＋ θ 2) ＋ isin( θ 1＋ θ 2)]，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复

数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．

(2)除法：z1÷ z 2＝＝ [cos( θ 1－ θ 2) ＋ isin( θ 1－ θ 2)](其中 z2≠0)，

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于

被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．

(3)乘方：zn＝rn(cosnθ＋isinnθ)．

(4)开方：＝(cos＋isin)(k＝0,1,2，…，n－1)．

知识点 2 复数三角形式乘、除运算的几何意义

两个复数 z1，z2相乘时，可以像图中所示那样，先分别画出与 z1，z2对应的向量

OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点 O按逆时针方向旋转一个角 θ2(如果 θ2<0，就要把OZ1按

顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的 r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就

是积 z1z2.这就是复数乘法的几何意义．

z2≠0，的几何意义是把 z的对应向量OZ1按顺时针方向旋转一个角 θ2(如果 θ2<0，就要把

OZ1按逆时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商.

【合作探究】

探究一复数的三角形式的乘、除运算

【例 1】(cos＋isin)·(cos＋isin)．

[解]　(cos＋isin)·(cos＋isin)

＝·[cos(＋)＋isin(＋)]

＝(cos＋isin)

＝(＋i)＝＋i.

归纳总结：r1cosθ1＋isinθ1·r2cosθ2＋isinθ2＝r1r2[cosθ1＋θ2＋isinθ1＋θ2]计算，简便得多.

这就是复数的三角形式乘法运算公式.

【练习 1】设复数 z＝cosθ＋isinθ，θ∈(π，2π)，求复数 z2＋z的模和辐角．

解：z2＋z＝(cosθ＋isinθ)2＋cosθ＋isinθ

＝cos2θ＋isin2θ＋cosθ＋isinθ

＝(cos2θ＋cosθ)＋i(sin2θ＋sinθ)

＝2coscos＋i(2sincos)

＝2cos(cosθ＋isinθ)

＝－2cos

∵θ∈(π，2π)，∴∈(，π)，

∴－2cos>0，

所以复数 z2＋z的模为－2cos，辐角为(2k－1)π＋(k∈Z)．

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