高一数学新教材同步课堂精讲练导学案7.3.1 复数的三角表示式（原卷版）

3.0 envi 2025-04-11 4 4 48.49KB 13 页 3知币

7.3.1 复数的三角表示式

导学案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.知道复数的模和辐角的定义

2.会求复数的模和辐角主值

3.能求出复数的三角形式

【自主学习】

知识点 1 复数的三角形式

1．定义：r (cos θ ＋ isin θ ) 叫做复数 z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数

z的模；θ是以 x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线 OZ)为终边的角，叫做复数 z

＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

2．非零复数

辐角

的多值性

以x轴正半轴为始边，向量OZ所在的射线为终边的角 θ叫复数 z＝a＋bi的辐角，因此复数

z的辐角是 θ＋2kπ(k∈Z) (k∈Z)．

3．辐角主值

(1)表示法：用 argz表示复数 z的辐角主值．

(2)定义：适合[0,2π)的角 θ叫辐角主值．

(3)唯一性：复数 z的辐角主值是的、的．

知识点 2 复数的代数形式与三角形式的互化

复数 z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为

【合作探究】

探究一代数形式与三角形式的转换

【例 1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：

(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)； (2)z2＝cosθ－isinθ.

归纳总结：

【练习 1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：

(1)z3＝－sinθ＋icosθ； (2)z4＝－sinθ－icosθ； (3)z5＝cos60°＋isin30°.

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