高一数学新教材同步课堂精讲练导学案7.3.1 复数的三角表示式（解析版）

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7.3.1 复数的三角表示式

导学案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.知道复数的模和辐角的定义

2.会求复数的模和辐角主值

3.能求出复数的三角形式

【自主学习】

知识点 1 复数的三角形式

1．定义：r (cos θ ＋ isin θ ) 叫做复数 z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数

z的模；θ是以 x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线 OZ)为终边的角，叫做复数 z

＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

2．非零复数

辐角

的多值性

以x轴正半轴为始边，向量OZ所在的射线为终边的角 θ叫复数 z＝a＋bi的辐角，因

此复数 z的辐角是 θ＋2kπ(k∈Z) (k∈Z)．

3．辐角主值

(1)表示法：用 argz表示复数 z的辐角主值．

(2)定义：适合[0,2π)的角 θ叫辐角主值．

(3)唯一性：复数 z的辐角主值是确定的、唯一的．

知识点 2 复数的代数形式与三角形式的互化

复数 z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为

【合作探究】

探究一代数形式与三角形式的转换

【例 1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：

(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)； (2)z2＝cosθ－isinθ.

[解]　(1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换：z1＝2(－cosθ－isinθ)，复平面上点

Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定 θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需再变换三角

函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．∴z1＝2(－cosθ－isinθ)＝

2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．

(2)由“加号连”知，不是三角形式，复平面上点 Z2(cosθ，－sinθ)在第四象限(假定 θ

为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－θ”或“－θ”将θ变换到第四象限．

∴z2＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z2＝cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，

考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．

归纳总结：对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲

是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.

【练习 1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：

(1)z3＝－sinθ＋icosθ； (2)z4＝－sinθ－icosθ； (3)z5＝cos60°＋isin30°.

解：(1)由“余弦前”知，不是三角形式，复平面上点 Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定 θ

为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“＋θ”将θ变换到第二象限．

∴z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(＋θ)＋isin(＋θ)．

(2)不是三角形式，同理(1)可得 z4＝－sinθ－icosθ＝cos(π－θ)＋isin(π－θ)．

(3)由“角相同”知，不是三角形式，z5＝cos60°＋isin30°＝＋i＝(1＋i)＝×(cos＋isin)

＝(cos＋isin)．

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