高一数学新教材同步课堂精讲练导学案7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（解析版）

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7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义

导学案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则

2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.

【自主学习】

知识点 1 复数的加、减法法则及几何意义与运算律

z1，z2，z3∈C，设OZ1，OZ2分别与复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)

相对应，且OZ1，OZ2不共线

加法减法

运算法则 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i

几何意义

复数的和 z1＋z2与向量OZ1＋

OZ2＝OZ的坐标对应

复数的差 z1－z2与向量

OZ1－OZ2＝Z2Z1的坐标

对应

运算律

交换律 z1＋z2＝z2＋z1

结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)

【合作探究】

探究一复数加、减法的运算

【例 1】(1)计算(2＋4i)＋(3－4i)；

(2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i).

解　(1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.

(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.

归纳总结：

【练习 1】计算(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i).

解　方法一　原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 011－2 012)＋(－2＋3－4＋5＋…－2 012＋2

013)i＝－1 006＋1 006i.

方法二　(1－2i)－(2－3i)＝－1＋i，

(3－4i)－(4－5i)＝－1＋i，…，

(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i)＝－1＋i.

将上列 1 006 个式子累加可得

原式＝1 006(－1＋i)＝－1 006＋1 006i.

探究二复数加、减法的几何意义

【例 2】如图所示，在平行四边形 OABC 中，顶点 O，A，C分别表示 0,3＋2i，－2＋4i.求：

(1)AO所表示的复数，BC所表示的复数；

(2)对角线CA所表示的复数；

(3)对角线OB所表示的复数及OB的长度.

解　(1)因为AO＝0－(3＋2i)＝－3－2i，

所以AO所表示的复数为－3－2i.

因为BC＝AO，

所以BC所表示的复数为－3－2i.

(2)因为CA＝OA－OC，

所以CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

(3)因为对角线OB＝OA＋AB＝OA＋OC，

所以OB所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，

所以|OB|＝＝.

归纳总结：

【练习 2】满足条件|z＋1－i|＝|4－3i|的复数 z在复平面内对应的点的轨迹是(　　)

A.一条直线 B.两条直线

C.一个圆 D.一个椭圆

【答案】　C

解析　根据复数减法的几何意义，|z＋1－i|表示复平面内复数 z对应的点 Z到点(－1,1)的距

离，而|4－3i|表示复数 4－3i 的模，等于 5，故满足|z＋1－i|＝5的复数 z在复平面内对应的

点的轨迹是以(－1,1)为圆心，5为半径的圆.

探究三复数加、减法的综合应用

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