高一数学新教材同步课堂精讲练导学案7.1.2 复数的几何意义（原卷版）

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7.1.2 复数的几何意义

导学案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系

2.掌握实轴、虚轴、模等概念.

3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.

【自主学习】

知识点 1　复平面的概念和复数的几何意义

1.复平面的概念

根据复数相等的定义，任何一个复数 z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.

因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中

的点之间可以建立一一对应.

如图所示，点 Z的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z＝a＋bi可用点 Z(a，b)表示.这个建立了

直角坐标系来表示复数的平面叫做，x轴叫做，y轴叫做 . 显然，

实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数的几何意义

按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内

的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集 C和复平面内所有的点所成的集合

是一一对应的，即复数 z＝a＋bi复平面内的点，这是复数的一种几何意

义.

3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与

复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.

如图所示，设复平面内的点 Z表示复数 z＝a＋bi，连接 OZ，显然向量OZ由点 Z唯一确定；

反过来，点 Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ唯一确定.因此，复数集 C与复平面内的向

量所成的集合也是一一对应的(实数 0与零向量对应)，即复数 z＝a＋bi平面向量

OZ，这是复数的另一种几何意义.

知识点 2　复数的模

1.如图所示，向量OZ的模 r叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果 b＝0，

那么 z＝a＋bi是一个实数 a，它的模等于|a|(就是 a的绝对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|

＝r＝(r≥0，r∈R).

2.复数的模的性质，设 z1，z2是任意两个复数，则

(1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到).

(2)|z|＝|z1|n(n∈N*).

(3)≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：

① 当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2所对应的向量同向共线；

② 当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即 z1，z2所对应的向量反向共线.

(4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2所对

应的向量反向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即 z1，z2所对应的向量同向共线.

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