高一数学新教材同步课堂精讲练导学案7.1.1 数系的扩充和复数的概念（解析版）

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7.1.1 数系得扩充和复数得概念

导学案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位 i

2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.

【自主学习】

知识点 1　复数的引入

在实数范围内，方程 x2＋1＝0无解.为了解决 x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，

我们设想引入一个新数 i，使 i是方程 x2＋1＝0的根，即使 i·i＝－1.把这个新数 i添加到实

数集中去，得到一个新数集.把实数 a与实数 b和i相乘的结果相加，结果记作 a＋

bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数 a和数 i，也可以看作是 a＋

bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，

所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是 C＝{a＋bi|a，b∈R}，称 i为虚数单位 .

知识点 2　复数的概念、分类

1.复数的有关概念

(1)复数的概念：形如 a＋bi的数叫做复数，其中 a，b∈R，i叫做虚数单位 . a叫做复数的实

部，b叫做复数的虚部 .

(2)复数的表示方法：复数通常用字母 z

表示，即 z ＝ a ＋ b i .

(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母 C表示.

2.复数的分类及包含关系

(1)复数(a＋bi，a，b∈R)

(2)集合表示：

知识点 3　复数相等

复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔a ＝ c

且

b ＝ d .即它们的实部与虚部分别对应

相等.

【合作探究】

探究一复数的概念

【例 1】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.

①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④ π；⑤－i；⑥ 0.

解　①的实部为 2，虚部为 3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，

虚部为 1，是虚数；④的实部为 π，虚部为 0，是实数；⑤的实部为 0，虚部为－，是纯虚

数；⑥的实部为 0，虚部为 0，是实数.

归纳总结：

【练习 1】下列命题中，正确命题的个数是(　　)

①若x，y∈C，则 x＋yi＝1＋i的充要条件是 x＝y＝1；

②若a，b∈R且a＞b，则 a＋i＞b＋i；

③若x2＋y2＝0，则 x＝y＝0.

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】　A

解析　①由于 x，y∈C，所以 x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件

所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2

＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选 A.

探究二复数的分类

【例 2】设z＝ (m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).

(1)若z是虚数，求 m的取值范围；

(2)若z是纯虚数，求 m的值.

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