高一数学新教材同步课堂精讲练导学案6.4.1 平面几何中的向量方法（解析版）

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6.4.1 平面几何中的向量方法
导学案
编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的“三步
曲”
2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线
性运算及数量积表示．
【自主学习】
知识点 1 向量方法在几何中的应用
对于平面向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：
a∥b(b≠0)⇔b ＝ λ a ⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：
非零向量 a，b，a⊥b⇔a · b ＝ 0 ⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 .
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 cos θ＝＝.
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：
|a|＝或＝.
知识点 2 平面几何中的向量方法
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化
为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
1
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点 3 直线的方向向量和法向量
(1)直线 y＝kx＋b的方向向量为(1 ， k ) ，法向量为( k ，－ 1) ．
(2)直线 Ax＋By＋C＝0的方向向量为( B ，－ A ) ，法向量为( A ， B ) ．
2
【合作探究】
探究一 利用向量证明平行或垂直问题
【例 1】如图所示，若四边形 ABCD 为平行四边形，EF∥AB，AE 与BF 相交于点 N，DE
与CF 相交于点 M.
求证：MN∥AD.
[分析]　本题是求判定直线平行的问题，它可以转化为证明向量共线来解决．
[证明]　∵EF∥AB，∴△NEF∽△NAB，
设AB＝μEF(μ≠1)，
则＝μ，AE＝(μ－1)EN，
同理，由EF∥CD，可得DE＝(μ－1)EM，
∴AD＝ED－EA＝AE－DE＝(μ－1)MN，
∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴AD＝λMN，即AD∥MN.
归纳总结：
【练习 1】如图所示，四边形 ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，试用向量证明：
AC⊥BD.
3
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