高一数学新教材同步课堂精讲练导学案6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示（解析版）

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6．3.2　平面向量的正交分解及坐标表示

6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示

导学案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.能用坐标表示向量，知道平面向量基本定理中向量与有序实数对的一一对应关系.

2.会两个向量的和差的坐标运算.

3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．

【自主学习】

知识点 1 向量的正交分解及坐标表示

(1)向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．

(2)向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，设与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为 i，j，

取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量 a，

由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj，

我们把有序实数对( x ， y ) 叫做向量 a的坐标，记作 a＝( x ， y ) ，

此式叫做向量 a的坐标表示，其中 x叫做 a在x轴上的坐标，y叫做 a在y轴上的坐标．

(3)向量与坐标的关系

设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标( x ， y ) 就是终点 A的坐标；

反过来，终点 A的坐标(x，y)就是向量OA的坐标．

因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，

即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．

知识点 2 平面向量加、减运算的坐标表示

已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：

(1)a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，

即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．

(2)若点 A坐标为(x1，y1)，点 B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点，

则OA＝( x 1， y 1)，OB＝( x 2， y 2)，AB＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，

即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

【合作探究】

探究一平面向量的坐标表示

【例 1】在平面直角坐标系中，向量 a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，向

量a，b，c的坐标分别为_____，________，________.

[答案]　(，)　　(2，－2)

[解析]　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．

a1＝|a|cos45°＝2×＝，

a2＝|a|sin45°＝2×＝，

b1＝|b|cos120°＝3×＝－，

b2＝|b|sin120°＝3×＝，

c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，

c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.

∴a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)．

归纳总结：始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义

来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与 x轴正

方向的夹角.

【练习 1】在平面直角坐标系中，|a|＝4，且 a如图所示，则 a的坐标为(　　)

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