高一数学新教材同步课堂精讲练导学案6.3.1 平面向量的基本定理（解析版）

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6.3.1 平面向量的基本定理

导学案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.

2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.

3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．

【自主学习】

知识点 1 平面向量基本定理

(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，

那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

知识点 2 两向量的夹角与垂直

(1)夹角：已知两个非零向量 a和b，如图，作OA＝a，OB＝b，

则∠ AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量 a与b的夹角．

① 范围：向量 a与b的夹角的范围是[0°，180°]．

②当θ＝0°时，a与b同向．

③当θ＝180°时，a与b反向．

(2)垂直：如果 a与b的夹角是 90°，则称 a与b垂直，记作 a⊥b.

【合作探究】

探究一基底的概念

【例 1】下面说法中，正确的是(　　)

① 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

② 一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

③ 零向量不可作为基底中的向量；

④ 对于平面内的任一向量 a和一组基底 e1，e2，使 a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．

A．②④ B．②③④

C．①③ D．①③④

[答案]　B

[解析]　因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；

由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．

归纳总结：根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是

否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底.

【练习 1】设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的

是(　　)

A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2

C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2

[答案]　B

解析：在 B中，因为 6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(3e1－4e2) (6∥e1－8e2)．所以 3e1－4e2和

6e1－8e2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．

探究二用基底表示向量

【例 2】如图所示，在△OAB 中，OA＝a，OB＝b，M、N分别是边 OA、OB 上的点，且

OM＝a，ON＝b，设AN与BM交于点 P，用向量 a、b表示OP.

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