高一数学新教材同步课堂精讲练导学案6.2.4 向量的数量积的运算（解析版）

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6.2.4 平面向量的数量积

2 课时向量数量积的运算律

导学案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.了解数量积的运算律

2.会用向量数量积的公式解决相关问题．

【自主学习】

知识点 1 向量数量积的性质

设a、b为两个非零向量，e是与 b同向的单位向量．

(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；

(2)a⊥b⇒a·b＝0

且a·b＝0⇒a⊥b；

(3)a·a＝|a|2或|a|＝；

(4)cos〈a，b〉＝；

(5)|a·b|≤|a||b|.

知识点 2 向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

【合作探究】

探究一向量的数量积的运算律

【例 1】已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为 120°，试求：

(1)a·b；

(2)(a＋b)·(a－b)；

(3)(2a－b)·(a＋3b)．

[分析]　根据数量积、模、夹角的定义以及数量积的运算，逐一进行计算即可．

[解]　(1)a·b＝|a|·|b|cos120°＝2×3×(－)＝－3.

(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.

(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34.

归纳总结：求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两

个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式

进行化简.

【练习 1】已知向量 a与b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，则 a·(2a＋b)等于 .

答案：2

解析：a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝4－2＝2.

探究二向量的模

【例 2】已知向量 a，b满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________.

[答案]　

[分析]　利用模的公式和数量积的运算律进行求解．

[解析]　因为 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，

所以|a－3b|＝＝＝＝.

归纳总结：

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