高一数学新教材同步课堂精讲练导学案6.2.4 向量的数量积的概念（解析版）

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6.2.4 向量的数量积

第 1 课时　向量的数量积的概念

导学案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义；

2.知道向量的投影向量；

3.记住数量积的几个重要性质．

【自主学习】

知识点 1 向量的夹角

(1)已知两个非零向量 a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB

称作向量 a和向量 b的夹角，记

作〈a，b〉，并规定它的范围是 0≤〈a，b〉≤π.www-2-1-cnjy-com

在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．

(2)当〈a，b〉＝时，我们说向量 a和向量 b互相垂直，记作 a⊥b.

知识点 2 向量数量积的定义

(1)定义：已知两个非零向量 a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做 a与b的数量积(或内积)，记

作a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ是a与b的夹角．2-1-c-n-j-y

(2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0.

知识点 3 投影向量

如图(1)，设 a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，我们考虑如下的变换：过AB的起点

A和终点 B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到A1B1，我们称上述变

换为向量 a向向量 b投影，A1B1叫做向量 a在向量 b上的投影向量；

如图(2)，我们可以在平面内任取一点 O，作OM＝a，ON＝b，过点 M作直线 ON 的垂线，

垂足为 M1，则OM1就是向量 a在向量 b上的投影向量．

知识点 4　数量积的几个性质

设a、b是非零向量，它们的夹角是 θ，e是与 b方向相同的单位向量，则

(1)a·e＝e·a＝| a |cos θ .

(2)a⊥b⇔a·b ＝ 0 .

(3)当a与b同向时，a·b＝| a || b | ；当 a与b反向时，a·b＝－ | a || b | .特别地，a·a＝| a | 2

或|a|＝.

(4)|a·b|≤| a || b | .

【合作探究】

探究一向量的夹角问题

【例 1】在△ABC 中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC 的中点．求：

(1)AD与BD的夹角大小；

(2)DC与BD的夹角大小．

[分析]　由勾股定理可知题中三角形为直角三角形，然后结合直角三角形相关知识

和向量夹角知识解答本题．

[解]　(1)如图所示，在△ABC 中，AB＝，BC＝1，AC＝2，

∴AB2＋BC2＝()2＋12＝22＝AC2，

∴△ABC 为直角三角形．

tan∴A＝＝＝，∴∠A＝30°.

∵D为AC 的中点，

∴∠ABD＝∠A＝30°，AD＝DC.

在△ABD 中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°.

∴AD与BD的夹角为 120°.

(2)∵AD＝DC，

∴DC与BD的夹角也为 120°.

归纳总结：求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的

夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.

【练习 1】已知|a|＝|b|＝2，且 a与b的夹角为 60°，设 a＋b与a的夹角为 α，a－b与a的夹

角是 β.求α＋β.

解：如图，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°，以 OA、OB 为邻边作▱OACB，

则OC＝a＋b，BA＝OA－OB＝a－b，

BC＝OA＝a.

因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB 为正三角形，

所以∠OAB＝60°＝∠ABC，

即a－b与a的夹角 β＝60°.

因为|a|＝|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形，

所以 OC⊥AB.

所以∠COA＝90°－60°＝30°，

即a＋b与a的夹角 α＝30°，

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