高一数学下学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第二册）第4讲 复数代数形式的四则运算（解析版）

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复数代数形式的四则运算
目录
考点一 复数的运算.................................................................................................2
考点二 复数的模....................................................................................................5
课后综合巩固练习..................................................................................................7
1
考点一 复数的运算
1．复数的加法与减法
⑴加法：设 ， ， ，定义 ．
复数的加法运算满足交换律、结合律．
⑵相 反 数 ： 已 知 复 数 ， 存 在 惟 一 的 复 数 ， 使 ，
叫做 的相反数． ．在复平面内，互为相反数
的两个复数关于原点对称．
⑶复数的减法法则： ，
⑷复数加法的几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．
2．复数的乘法
设 ， ， 、 、 、 ，定义 ．
复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，
一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．
复数的乘方也就是相同复数的乘积．实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍
然成立，即对复数 、 、 和自然数 、
n
， 有 ， ，
．
在复数的乘方运算中，要记住以下结果：
， ， ， ； ， ， ， ．
<教师备案>记 ，
则 ， ， ， ， ，
3．复数的除法
已知 ，如果存在一个复数 ，使 ，则 叫做 的倒数，记作 ．
．
两个复数除法的运算法则如下：
．
1． 设 ， 复 数 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 实 轴 上 ， 又 函 数
，若曲线 与直线 有且只有一个公共点，则实数 的取
值范围为 　　
2
A．B． ，
C． ， D． ， ，
【分析】由已知求得 ，得到 ，利用导数研究单调性及过 的切线的斜率，再画
出图形，数形结合可得实数 的取值范围．
【解答】解： 在复平面内对应的点位于实轴上，
，即 ．
则 ， ，
又当 时， ，
作出函数 的图象如图：
直线 过 ，
设切点为 ， ，
则在切点处的切线方程为 ，
把 代入，可得 ，即 ，即 ．
则 ， ．
而 ，
由图可知，当 ， ，即 ， 时，曲线 与直线 有且只
有一个公共点，
综上可得，当 ， 时，曲线 与直线 有且只有一个公共点．
故选： ．
3
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