高一数学下册同步备课系列（沪教版2020必修第二册）8.4 向量的应用（作业）解析版

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8.4 向量的应用（作业）
1．在△
ABC
中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△
ABC
的形状一定是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【难度】★
【答案】C
【解析】由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，2AC·BA
＝0，∴AC⊥BA，∴
A
＝90°．又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，故△
ABC
一定是直角三角形．
2.[华师大二附中期中·12]下列有关平面向量分解定理的四个命题中：
①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；
②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③平面向量的基向量可能互相垂直；
④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．
正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【难度】★
【答案】B
【解答】一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正
确；
平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；
平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，
如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．
综上，正确的命题是②③．故选：B．
3.[位育中学期中·13]平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为 120°，OA与OC的
夹角为 30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则 λ＋μ的值为________．
【难度】★★
【答案】(4,2)
【解析】方法一　如图，OC＝OB1＋OA1，|OB1|＝2，|OA1|＝|B1C|＝4，
∴OC＝4OA＋2OB．∴λ＋μ＝6．
方法二　由OC＝λOA＋μOB，两边同乘OC，得OC2＝λOA·OC＋0，∴λ＝4．
∴OC＝4OA＋μOB，两边同乘OA，得OC·OA＝4＋μOA·OB，即 3＝4＋(－)μ．∴μ＝2．
∴λ＋μ＝6．
方法三　以 O为原点，OA 为x轴建立直角坐标系，则 A(1,0)，C(2cos 30°，2sin 30°)，
B(cos 120°，sin 120°)．即 A(1,0)，C(3，)，B(－，)．
由OC＝λOA＋μOB得，∴．∴λ＋μ＝6．
4.[普陀区晋元中学期中·16]如图所示，A，B，C是圆 O上的三点，线段 CO 的延长线与线段 BA 的延
长线交于圆 O外的点 D，若OC＝mOA＋nOB，则 m＋n的取值范围是(　　)
1
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1,0)
【难度】★★
【答案】D
【解析】依题意，由点 D是圆 O外一点，可设BD＝λBA(λ>1)，则OD＝OB＋λBA＝λOA＋(1－λ)OB．
又C，O，D三点共线，令OD＝－μOC(μ>1)，则OC＝－OA－OB(λ>1，μ>1)，所以 m＝－，n＝－．
故m＋n＝－－＝－∈(－1,0)．故选 D．
5．[位育中学监控考试·11]在
Δ ABC
中，
⃗
AM =1
4
⃗
AB+m
⃗
AC
，向量
⃗
AM
的终点
M
在
Δ ABC
的内部(不含边界)，则实数
m
的取值范围是__________．
【难度】★★
【答案】
6．在△
ABC
所在平面上有一点
P
，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△
PAB
与△
ABC
的面积的比值是(　
)
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】A
【解析】由题意可得PC＝2AP，所以
P
是线段
AC
的三等分点(靠近点
A
)，易知
S
△
PAB
＝
S
△
ABC
，即
S
△
P
AB
∶
S
△
ABC
＝1∶3．
7．在△
ABC
中，＝1，＝2，则
AB
边的长度为(　　)
A．1 B．3 C．5 D．9
【难度】★★
【答案】B
【解析】由题意画示意图，作
CD
⊥
AB
，垂足为
D
，如图．
＝1 表示AC在AB上的投影为 1，即
AD
的长为 1，
＝2 表示BC在BA上的投影为 2，即
BD
的长为 2，故
AB
边的长度为 3．
8．若函数
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)(
A
>0，
ω
>0，|
φ
|<)在一个周期内的图象如图所示，
M
，
N
分别是这
段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(
O
为坐标原点)，则
A
等于(　　)
2
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