高一数学上学期高频考点专题突破专题11 对数函数（原卷版）

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专题 11 对数函数
模块一：对数与对数运算
1.对数的概念：
一般地，如果 ，且 ，那么我们把 叫做以 为底 的对数，记作
，其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
关系式
指数式 底数 指数
幂（值）
对数式 底数 对数 真数
2.常用对数与自然对数
对数 （ 且 ），当底数
（1） 时，叫做常用对数，记做 ；
（2） 时，叫做自然对数，记做 （ 为无理数， ）．
3.对数的运算性质：
如果
0a
，且
1 0 0a M N  ， ，
，那么：
（1）
log ( ) log log
a a a
M N M N 
；（积的对数等于对数的和）
推广
1 2 1 2
log ( ) log log log
a k a a a k
N N N N N N    
（2）
log log log
a a a
MM N
N 
；（商的对数等于对数的差）
（3）
log log ( )
a a
M M
 
R
．（幂的对数等于底数的对数乘以幂指数）
4.换底公式：
log
log log
a
b
a
N
Nb
（
）．
5.换底公式的几个基本使用：
①
log log 1
a b
b a 
；
②
log log log
a b a
b c c 
；
③
1
log log
n
a
a
b b
n
；
④
log log
n
m
a
a
m
b b
n
.
1
考点 1：对数运算
例 1.（1）化简求值： ；
（2） 　　．
例 2.（1）若 ，则 　　．
（2）已知 ， ，则 用 ， 表示为　　．
模块二：对数函数图像与性质的应用
1.对数函数：我们把函数
log ( 0
a
y x a 
且
1a
）叫做对数函数，其中
x
是自变量，函数
的定义域是
(0 ) ，
，值域为实数集
R
．
2.对数函数的图象与性质：
图象
(1, 0)
y
=
log
a
x
(
a
>1)
x
=1
x
y
(1, 0)
y
x
x
=1
y
=
log
a
x
(0<
a
<1)
定义域
(0 ) ，
值域
R
性质
⑴ 过定点
 
1 0，
，即
1x
时，
0y
⑵ 当
1x
时，
0y
；
当
0 1x 
时，
0y
⑵ 当
1x
时，
0y
；
当
0 1x 
时，
0y
．
⑶ 在
 
0 ，
上是增函数 ⑶ 在
 
0 ，
上是减函数
2
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