高一数学上学期高频考点专题突破专题07 函数单调性（原卷版）

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专题 07 函数单调性

模块一：函数单调性

1．一般地，设函数的定义域为，区间：

⑴ 增函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有

，那么就称函数在区间上是增函数；

⑵ 减函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有

，那么就称函数在区间上是减函数；

2．单调性：如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数

在这个区间上具有单调性，区间叫做的单调区间．

3．判断函数单调性的基本方法：

⑴ 定义法：任取，，判断的正负；

⑵ 图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数；

⑶ 复合函数的单调性——同增异减．

考点 1：具体函数单调性判断与证明

例 1.（1）下列函数中，在上为增函数的是　　

A．B．C．D．

（2）已知函数．

（1）求的定义域、值域利单调区间；

（2）判断并证明函数在区间上的单调性．

（3）试讨论函数，的单调性（其中．

( )y f x

I D

1 2

x x，

1 2

x x

1 2

( ) ( )f x f x

( )f x

1 2

x x，

1 2

x x

1 2

( ) ( )f x f x

( )f x

( )y f x

1 2

x x，

1 2

x x

1 2

( ) ( )f x f x

考点 2：抽象函数单调性判断与证明

例 2.(1 ）定义在的函数满足对于任意的，，

，当时，，其中（3）．

（1）判断函数的单调性并证明；

（2）解不等式．

(2）已知函数满足对任意的，，有．

（1）求（1），的值；

（2）若函数在其定义域上是增函数，（2），，求的

取值范围．

(3）设定义在上的函数，对于任意正实数、，都有（a）

（b），（2），且当时，．

（1）求（1）及的值；

（2）求证：在上是减函数．

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