高一数学上学期高频考点专题突破专题07 函数单调性（解析版）

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函数单调性.................................................................................................... 2

模块一：函数单调性..................................................................................... 2

考点 1：具体函数单调性判断与证明......................................................2

考点 2：抽象函数单调性判断与证明......................................................3

考点 3：已知单调性反求参..................................................................5

模块二：复合函数单调性..............................................................................8

考点 4：复合函数单调性判断...............................................................9

课后作业：............................................................................................... 10

专题 07 函数单调性

模块一：函数单调性

1．一般地，设函数的定义域为，区间：

⑴ 增函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有

，那么就称函数在区间上是增函数；

⑵ 减函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有

，那么就称函数在区间上是减函数；

2．单调性：如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数

在这个区间上具有单调性，区间叫做的单调区间．

3．判断函数单调性的基本方法：

⑴ 定义法：任取，，判断的正负；

⑵ 图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数；

⑶ 复合函数的单调性——同增异减．

考点 1：具体函数单调性判断与证明

例 1.（1）下列函数中，在上为增函数的是　　

A．B．C．D．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，为一次函数，在上为减函数，不符合题意；

对于，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；

对于，为反比例函数，在上为增函数，符合题意；

( )y f x

I D

1 2

x x，

1 2

x x

1 2

( ) ( )f x f x

( )f x

1 2

x x，

1 2

x x

1 2

( ) ( )f x f x

( )f x

( )y f x

1 2

x x，

1 2

x x

1 2

( ) ( )f x f x

对于，，当时，，则函数在上为减函数，不符

合题意；

故选：．

（2）已知函数．

（1）求的定义域、值域利单调区间；

（2）判断并证明函数在区间上的单调性．

【解答】解：（1）由，得，所以的定义域为，，，

由，得的值域为，，，

的单调递减区间为和

（2）在上是减函数，证明如下：

，，

在上是减函数．

（3）试讨论函数，的单调性（其中．

【解答】解：设，，且，则：

；（3分）

；

，，，，；

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