高一数学上学期高频考点专题突破专题05 二次函数与一元二次方程、不等式（原卷版）

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专题 05 二次函数与一元二次方程、不等式

考点 1：二次函数与一元二次方程、不等式

知识点一　一元二次不等式的概念

定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2

的不等式，叫做一元二次

不等式

一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中

a≠0，a，b，c均为常数

知识点二　一元二次函数的零点

一般地，对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c，我们把使 ax2＋bx＋c＝0的实数 x叫做二次函数 y＝

ax2＋bx＋c的零点．

知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0Δ<0

二次函数 y＝ax2＋bx

＋c(a>0)的图象

一元二次方程 ax2＋

bx＋c＝0(a>0)的根

有两个不相等的实

数根 x1，x2(x1<x2)

有两个相等的实数

根x1＝x2＝－没有实数根

ax2＋bx＋c>0(a>0)的

解集 { x | x < x 1，或

x > x 2}R

ax2＋bx＋c<0(a>0)的

解集 { x | x 1< x < x 2}∅ ∅

题型 1：解不含参数的一元二次不等式

例1　解下列不等式：

(1)－x2＋5x－6>0；

(2)3x2＋5x－2≥0；

(3)x2－4x＋5>0.

变式　解下列不等式：

(1)4x2－4x＋1>0；

(2)－x2＋6x－10>0.

题型 2：三个“二次”间的关系及应用

例2　已知二次函数 y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且 y>0 的解集为{x|－3<x<2}．

(1)求二次函数的解析式；

(2)当关于 x的不等式 ax2＋bx＋c≤0的解集为 R时，求 c的取值范围．

变式已知关于 x的不等式 ax2＋5x＋c>0 的解集为.

(1)求a，c的值；

(2)解关于 x的不等式 ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.

题型 3：含参数的一元二次不等式的解法

例3　设a∈R，解关于 x的不等式 ax2＋(1－2a)x－2>0.

变式　(1)当a＝时，求关于 x的不等式 x2－x＋1≤0的解集；

(2)若a>0，求关于 x的不等式 x2－x＋1≤0的解集．

考点 1：练习题

1．已知集合 M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则 M∩N等于(　　)

A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}

C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}

2．若 0<m<1，则不等式(x－m)<0 的解集为(　　)

A. B.

C. D.

3．二次方程 ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，如果 a<0，那么 ax2＋bx＋c>0 的解集为(　　)

A．{x|x>3 或x<－2} B．{x|x>2 或x<－3}

C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2}

4．若不等式 5x2－bx＋c<0 的解集为{x|－1<x<3}，则 b＋c的值是(　　)

A．5 B．－5 C．－25 D．10

5．若关于 x的二次不等式 x2＋mx＋1≥0的解集为 R，则实数 m的取值范围是(　　)

A．{m|m≤－2或m≥2} B．{m|－2≤m≤2}

C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－2<m<2}

6．不等式 x2－4x＋4≤0的解集是________．

7．不等式 x2＋3x－4<0 的解集为________．

8．关于 x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则 m的取值范围是________．

9．已知不等式 x2－2x－3<0 的解集为 A，不等式 x2＋x－6<0 的解集为 B.

(1)求A∩B；

(2)若不等式 x2＋ax＋b<0 的解集为 A∩B，求不等式 ax2＋x＋b<0 的解集．

10．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0 的解集是{x|－3<x<1}．

(1)解不等式 2x2＋(2－a)x－a>0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为 R?

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