高一数学上学期高频考点专题突破专题05 二次函数与一元二次方程、不等式（解析版）

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不等关系与不等式........................................................................................... 2

考点 1：二次函数与一元二次方程、不等式............................................2

考点 2：一元二次不等式在实际问题中的应用.........................................9

专题 05 二次函数与一元二次方程、不等

式

考点 1：二次函数与一元二次方程、不等

式

知识点一　一元二次不等式的概念

定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2

的不等式，叫做一元二次

不等式

一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中

a≠0，a，b，c均为常数

知识点二　一元二次函数的零点

一般地，对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c，我们把使 ax2＋bx＋c＝0的实数 x叫做二次函数 y＝

ax2＋bx＋c的零点．

知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0Δ<0

二次函数 y＝ax2＋bx

＋c(a>0)的图象

一元二次方程 ax2＋

bx＋c＝0(a>0)的根

有两个不相等的实

数根 x1，x2(x1<x2)

有两个相等的实数

根x1＝x2＝－没有实数根

ax2＋bx＋c>0(a>0)的

解集 { x | x < x 1，或

x > x 2}R

ax2＋bx＋c<0(a>0)的

解集 { x | x 1< x < x 2}∅ ∅

题型 1：解不含参数的一元二次不等式

例1　解下列不等式：

(1)－x2＋5x－6>0；

(2)3x2＋5x－2≥0；

(3)x2－4x＋5>0.

解　(1)不等式可化为 x2－5x＋6<0.

因为 Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程 x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3.

由二次函数 y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x|2<x<3}．

(2)因为 Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，

所以方程 3x2＋5x－2＝0的两实根为 x1＝－2，x2＝.

由二次函数 y＝3x2＋5x－2的图象(图②)，得原不等式的解集为.

(3)方程 x2－4x＋5＝0无实数解，函数 y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与 x轴无

交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为 R.

变式　解下列不等式：

(1)4x2－4x＋1>0；

(2)－x2＋6x－10>0.

解　(1)∵方程 4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根 x1＝x2＝.作出函数 y＝4x2－4x＋1的图象如

图．由图可得原不等式的解集为.

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