高一数学上学期高频考点专题突破专题03 不等关系与不等式（原卷版）

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专题 03 不等关系与不等式

考点 1：不等关系与不等式

知识点一　基本事实

两个实数 a，b，其大小关系有三种可能，即 a>b，a＝b，a<b.

依据

如果 a>b⇔a － b >0 .

如果 a＝b⇔a － b ＝ 0 .

如果 a<b⇔a － b <0 .

结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与 0

的大小

思考　x2＋1与2x两式都随 x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，

比较 x2＋1与2x的大小吗？

知识点二　重要不等式

∀a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b时，等号成立．

题型 1：用不等式(组)表示不等关系

例1　《铁路旅行常识》规定：

一、随同成人旅行，身高在 1.2～1.5 米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过 1.5 米的

应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足 1.2 米的儿童，超过一名时，超过的

人数应买儿童票．

……

十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过 160

厘米，杆状物品不得超过 200 厘米，重量不得超过 20 千克……

设身高为 h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为 P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等

关系.

文字表述身高在 1.2～1.5

米身高超过 1.5 米身高不足 1.2 米

物体长、宽、高

尺寸之和不得超

过160 厘米

符号表示

变式　某套试卷原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8万本．据市场调查，若单价每提

高0.1 元，销售量就可能相应减少 2 000 本．若把提价后试卷的定价设为 x元，怎样用不等

式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？

题型 2：作差法比较大小

例2　已知 a，b均为正实数．试利用作差法比较 a3＋b3与a2b＋ab2的大小．

变式　已知 x<1，试比较 x3－1与2x2－2x的大小．

考点 1：练习题

1．下列说法正确的是(　　)

A．某人月收入 x元不高于 2 000 元可表示为“x<2 000”

B．小明的身高为 x，小华的身高为 y，则小明比小华矮可表示为“x>y”

C．变量 x不小于 a可表示为“x≥a”

D．变量 y不超过 a可表示为“y≥a”

2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒 0.5 cm，人跑开的速度为每秒 4 m，

为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到 100 m 以外的安全区，导火索的长度 x(cm)应满足

的不等式为(　　)

A．4×≥100 B．4×≤100

C．4×>100 D．4×<100

3．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M与N的大小关系是(　　)

A．M>N B．M＝N

C．M<N D．与 x有关

4．若 y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则 y1与y2的大小关系是(　　)

A．y1>y2 B．y1＝y2

C．y1<y2 D．随 x值变化而变化

5．如图，在一个面积为 200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长 a大于

宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是(　　)

A．a>4b B．(a＋4)(b＋4)＝200

C. D.

6．某次数学智力测验，共有 20 道题，答对一题得 5分，答错一题得－2分，不答得零分．

某同学有一道题未答，设这个学生至少答对 x题，成绩才能不低于 80 分，列出其中的不等

关系：________.(不用化简)

7．某商品包装上标有重量 500±1 克，若用 x表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表

示该商品的重量的不等式为________．

8．若 x∈R，则与的大小关系为________．

9．已知 a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较 x与y的大小．

10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A，B含量及成本如下表：

甲乙丙

维生素A(单位/kg) 600 700 400

维生素B(单位/kg) 800 400 500

成本(元/kg) 11 9 4

若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg 配成100 kg 的混合食物，并使混合食物内至

少含有 56 000 单位维生素A和63 000 单位维生素B.

试用 x，y表示混合食物成本 c元，并写出x，y所满足的不等关系．

11．已知 0<a1<1,0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M与N的大小关系是(　　)

A．M<N B．M>N

C．M＝N D．无法确定

12．若 0<a1<a2，0<b1<b2，且 a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是(　　)

A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2

C．a1b2＋a2b1 D.

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