高一数学上学期高频考点专题突破专题03 不等关系与不等式（解析版）

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不等关系与不等式........................................................................................... 2

考点 1：不等关系与不等式..................................................................2

考点 2：等式性质与不等式性质............................................................7

专题 03 不等关系与不等式

考点 1：不等关系与不等式

知识点一　基本事实

两个实数 a，b，其大小关系有三种可能，即 a>b，a＝b，a<b.

依据

如果 a>b⇔a － b >0 .

如果 a＝b⇔a － b ＝ 0 .

如果 a<b⇔a － b <0 .

结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与 0

的大小

思考　x2＋1与2x两式都随 x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，

比较 x2＋1与2x的大小吗？

答案　作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以 x2＋1≥2x.

知识点二　重要不等式

∀a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b时，等号成立．

题型 1：用不等式(组)表示不等关系

例1　《铁路旅行常识》规定：

一、随同成人旅行，身高在 1.2～1.5 米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过 1.5 米的

应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足 1.2 米的儿童，超过一名时，超过的

人数应买儿童票．

……

十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过 160

厘米，杆状物品不得超过 200 厘米，重量不得超过 20 千克……

设身高为 h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为 P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等

关系.

文字表述身高在 1.2～1.5

米

身高超过 1.5 米身高不足 1.2 米

物体长、宽、高

尺寸之和不得超

过160 厘米

符号表示

解　由题意可获取以下主要信息：

(1)身高用 h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为 P(厘米)；

(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等

式表示．

身高在 1.2～1.5 米可表示为 1.2≤h≤1.5，

身高超过 1.5 米可表示为 h>1.5，

身高不足 1.2 米可表示为 h<1.2，

物体长、宽、高尺寸之和不得超过 160 厘米可表示为 P≤160.如下表所示：

文字表述身高在 1.2～1.5

米身高超过 1.5 米身高不足 1.2 米

物体长、宽、高

尺寸之和不得超

过160 厘米

符号表示 1.2≤h≤1.5 h>1.5 h<1.2 P≤160

变式　某套试卷原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8万本．据市场调查，若单价每提

高0.1 元，销售量就可能相应减少 2 000 本．若把提价后试卷的定价设为 x元，怎样用不等

式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？

解　提价后销售的总收入为 x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于 20 万元”可以

表示为不等式 x≥20(2.5≤x<6.5)．

题型 2：作差法比较大小

例2　已知 a，b均为正实数．试利用作差法比较 a3＋b3与a2b＋ab2的大小．

解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)

＝a2(a－b)＋b2(b－a)

＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．

当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；

当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.

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