高一数学上学期高频考点专题突破专题02 常用逻辑用语 （解析版）

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考点 1：充分条件与必要条件............................................................................2
考点 2：充要条件............................................................................................6
考点 3：全称量词与存在量词..........................................................................13
考点 4：全称量词与存在量词命题的否定..........................................................19
1
专题 02 常用逻辑用语
考点 1：充分条件与必要条件
“若 p，则 q”为真命题 “若 p，则 q”为假命题
推出关系 p⇒q p⇏q
条件关系 p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是 q的充分条件
q不是 p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
题型一：充分条件的判断
例1 指出下列哪些命题中 p是q的充分条件？
(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(2)已知 x，y∈R，p：x＝3，q：(x－3)·(x－4)＝0；
(3)已知 x∈R，p：x>5，q：x>6.
解 (1)四边形是矩形能够推出四边形的对角线相等，所以 p是q的充分条件．
(2)由x＝3⇒(x－3)(x－4)＝0，故 p是q的充分条件．
(3)方法一 由x>5⇏x>6，所以 p不是 q的充分条件．
方法二 设集合 A＝{x|x>5}，B＝{x|x>6}，
所以 B⊆A，所以 p不是 q的充分条件．
变式 “a2+b2=0”是“a+b=0”的________条件．
答案 充分
解析 a2+b2=0，则 a=b=0，所以，a+b=0，故“a2+b2=0”是“a+b=0”的充分
条件．
2
题型二：必要条件的判断
例2 指出下列哪些命题中 q是p的必要条件？
(1)p：两三角形全等，q：两三角形相似；
(2)p：A⊆B，q：A∩B＝A；
(3)p：a>b，q：ac2>bc2
解 (1)因为若两三角形全等，则必然相似，所以 q是p的必要条件．
(2)因为 p⇒q，
所以 q是p的必要条件．
(3)因为 c可能等于 0，p⇏q，
所以 q不是 p的必要条件．
变式 指出下列哪些命题中 q是p的必要条件？
(1)p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B；
(2)p：x2>16，q：x>4.
解 (1)因为对顶角相等，所以 p⇒q，
所以 q是p的必要条件．
(2)因为当 x2>16 时，x>4 或x<－4，所以 p⇏q，
所以 q不是 p的必要条件．
题型三：充分条件与必要条件的应用
例3 已知 M＝{x|a－1<x<a+1}，N＝{x|－3<x<8}，若 M是N的充分但不是必要
条件，求 a的取值范围
解：∵M是N的充分但不是必要条件， ∴
∴ ，又∵a－1=3 与a+1=8 不可能同时成立，即不可能出现 M=N
故a的取值范围是
3
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