高一数学上册期末考点大串讲（人教A版）第2讲 平面向量（知识点串讲）（解析版）

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第2讲 平面向量（知识点串讲）
知识整合
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).
(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量.规定：0 与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
例1、判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　　)
(2)BA＝OA－OB.(　　)
(3)向量AB与向量CD是共线向量，则 A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(4)已知 a，b是两个非零向量，当 a，b共线时，一定有 b＝λa(λ为常数)，反之也成立．(　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
[跟踪训练]
1、有下列命题：①两个相等向量，如果它们的起点相同，则终点也相同；②若|a|＝|b|，则 a＝b；③
若|AB|＝|DC|，则四边形 ABCD 是平行四边形；④若 m＝n，n＝k，则 m＝k；⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是(　　)
A．2　　　 B．3　　
C．4　　　 D．5
【答案】C　[对于①，两个相等向量，如果它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若|a|
＝|b|，方向不确定，则 a，b不一定相等，∴②错误；对于③，若|AB|＝|DC|，AB，DC不一定相等，∴四边
形ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若 m＝n，n＝k，则 m＝k，④正确；对于⑤，若
a∥b，b∥c，当 b＝0时，a∥c不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段
表示，∴⑥错误．综上，假命题是②③⑤⑥，共 4个．]
知识整合
2．向量的线性运算
向量
运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则
平行四边形法则
交换律：
a
＋
b
＝
b
＋
a
；
结合律：(
a
＋
b
)＋
c
＝
a
＋(
b
＋
c
)
1
减法 求
a
与
b
的相反向量－
b
的和的运算
三角形法则
a
－
b
＝
a
＋(－
b
)
数乘 求实数
λ
与向量
a
的积
的运算
|
λa
|＝|
λ
||
a
|，当
λ
＞0 时，
λa
与
a
的方向
相同；当
λ
＜0
时，
λa
与
a
的方向相
反；当
λ
＝0 时，
λa
＝0
λ
(
μ
a
)＝(
λμ
)
a
；
(
λ
＋
μ
)
a
＝
λa
＋
μ
a
；
λ
(
a
＋
b
)＝
λa
＋
λb
3．平面向量基本定理
如果
e
1，
e
2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，有且只有一对实数
λ
1，
λ
2，使
a
＝
λ
1
e
1＋
λ
2
e
2.
其中，不共线的向量
e
1，
e
2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
例2、(2019·山东东营检测)如图所示，BC＝3CD，O在线段 CD 上，且 O不与端点 C，D重合，若AO
＝mAB＋(1－m)AC，则实数 m的取值范围为________.
【答案】　[设CO＝kBC，则 k∈，
∴AO＝AC＋CO＝AC＋kBC＝AC＋k(AC－AB)＝(1＋k)AC－kAB.
又AO＝mAB＋(1－m)AC，∴m＝－k.
∵k∈，∴m∈.]
[跟踪训练]
2、(2019·山东潍坊调研)如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E为线段 AO 的中点．
若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则 λ＋μ等于(　　)
A．1 B．
C．D．
【答案】B　[∵E为线段 AO 的中点，
∴BE＝BA＋BO＝BA＋＝BA＋BD＝λBA＋μBD，∴λ＋μ＝＋＝.]
知识整合
4．共线向量定理
向量
a
(
a
≠0)与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
λ
，使
b
＝
λa
.
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即
A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋
An
－1
An
＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2
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