高一数学上册期末考点大串讲（人教A版）第2讲 基本初等函数(幂指对)（知识点串讲）（解析版）
第2讲 基本初等函数(幂指对)
一、[体系构建]
二、[知识点总览]
1．有理数指数幂
(1)幂的有关概念：
① 正分数指数幂：＝(
a
>0，
m
，
n
∈N*，且
n
>1)．
② 负分数指数幂：＝＝(
a
>0，
m
，
n
∈N*，且
n
>1)．
③0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的性质：
①
aras
＝
ar
＋
s
(
a
>0，
r
，
s
∈Q)；②(
ar
)
s
＝
ars
(
a
>0，
r
，
s
∈Q)；③(
ab
)
r
＝
arbr
(
a
>0，
b
>0，
r
∈Q)．
2．指数函数的图象与性质
y
＝
axa
>1 0<
a
<1
图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)
当
x
>0 时，
y
>1；
当
x
<0 时，0<
y
<1
当
x
>0 时，0<
y
<1；
当
x
<0 时，
y
>1
1
在R上是增函数 在 R上是减函数
注：①指数函数
y
＝
ax
(
a
>0，
a
≠1)的图像和性质跟
a
的取值有关，要特别注意区分
a
>1 或 0<
a
<1.
② 指数函数图象在坐标系中的位置如下图所示，即无论在
y
轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变
大．
例 1、(2019·山东聊城月考)设
a
＝0.70.6，
b
＝0.70.7，
c
＝log0.70.6，则
a
，
b
，
c
的大小关系依次从小
到大排序为________.
【答案】
b
＜
a
＜
c
[∵函数
y
＝0.7
x
在R上单调递减，且 0.6＜0.7，∴
b
＜
a
＜1，
c
＝log0.70.6＞
log0.70.7＝1，∴
b
＜
a
＜
c．
]
[跟踪训练]
1、(2018·济南外国语学校期中)设
a
＝0.60.6，
b
＝0.61.5，
c
＝1.50.6，则
a
，
b
，
c
的大小关系是( )
A．
a
＜
b
＜
c
B．
a
＜
c
＜
b
C．
b
＜
a
＜
c
D．
b
＜
c
＜
a
【答案】C [由题意可知 1＞
a
＝0.60.6＞
b
＝0.61.5，
c
＝1.50.6＞1，可知：
c
＞
a
＞
b．
]
例 2、(2019·山东临沂摸底)若函数
y
＝(
a
2－1)
x
在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数
a
的取值范围是
________.
【答案】(－，－1)∪(1，) [由题意知 0＜
a
2－1＜1，即 1＜
a
2＜2，得－＜
a
＜－1 或 1＜
a
＜.]
[跟踪训练]
2、当
x
∈(－∞，－1]时，不等式(
m
2－
m
)·4
x
－2
x
＜0 恒成立，则实数
m
的取值范围是_________.
【答案】(－1，2) [原不等式变形为
m
2－
m
＜
x
，
∵函数
y
＝
x
在(－∞，－1]上是减函数，
∴
x
≥－1＝2，
当
x
∈(－∞，－1]时，
m
2－
m
＜
x
恒成立等价于
m
2－
m
＜2，解得－1＜
m
＜2.]
3．对数
概念 如果
ax
＝
N
(
a
>0，且
a
≠1)，那么数
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记作
x
＝
log
aN
，其中
a
叫做对数的底数，
N
叫做真数，log
aN
叫做对数式
性质 对数式与指数式的互化：
ax
＝
N
⇔
x
＝log
aN
log
a
1＝0，log
aa
＝1，
a
log
aN
＝
N
运算
法则
log
a
(
M
·
N
)＝log
aM
＋log
aN a
>0，
且
a
≠1，
M
>0，
N
>0
log
a
＝log
aM
－log
aN
log
aMn
＝
n
log
aM
(
n
∈R)
换底
公式 换底公式：log
ab
＝(
a
>0，且
a
≠1，
c
>0，且
c
≠1，
b
>0)
2
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