高一数学上册期末考点大串讲（人教A版）第1讲 集合与函数（知识点串讲）（解析版）
第一讲 集合与函数
一、[体系构建]
二、知识点总览
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.
(2)集合与元素的关系：若
a
属于集合
A
，记作
a
∈
A
；若
b
不属于集合
A
，记作
b
∉
A
.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)常用数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或 N＋)Z Q R
例1、(1)已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
(2)已知集合 A＝{0，m，m2－3m＋2}，且 2∈A，则实数 m为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3 均可
【答案】(1)C (2)B [(1)逐个列举可得 x＝0，y＝0,1,2 时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝
0,1,2 时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2 时x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合 B
中的元素为－2，－1,0,1,2，共 5个．
(2)由2∈A可知：若 m＝2，则 m2－3m＋2＝0，这与 m2－3m＋2≠0相矛盾；若 m2－3m＋2＝
2，则 m＝0或m＝3，当 m＝0时，与 m≠0相矛盾，当 m＝3时，此时集合 A＝{0,3,2}，符合
题意．]
[跟踪训练]
1．下列命题正确的有( )
① 很小的实数可以构成集合；
② 集合与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合；
1
③1，，，，0.5 这些数组成的集合有 5个元素；
④ 集合{(x，y)|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】A [由题意得，①不满足集合的确定性，故错误；②两个集合，一个是数集，一个
是点集，故错误；③中＝0.5，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；④不仅仅表示的
是第二，四象限的点，还可表示原点，故错误，综合没有一个正确，故选 A.]
2．集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn 图
子集
集合
A
中所有元素都在集
合
B
中(即若
x
∈
A
，则
x
∈
B
)
A
⊆
B
(或
B
⊇
A
)
真子集
集合
A
是集合
B
的子集，
且集合
B
中至少有一个元
素不在集合
A
中
A
B
集合
相等
集合
A
，
B
中的元素相同或
集合
A
，
B
互为子集
A
＝
B
(1)空集 φ：任何集合的子集
(2)子集个数结论：
① 含有
n
个元素的集合有 2
n
个子集；
② 含有
n
个元素的集合有 2
n
－1 个真子集；
③ 含有
n
个元素的集合有 2
n
－2 个非空真子集．
例2、已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，若 A⊆B，且 B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数 m的取值
范围．
【答案】若A⊆B，则由题意可知解得 3≤m≤4.即m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
[跟踪训练]
变式 1、把本例条件“A⊆B”改为“A＝B”，求实数 m的取值范围．
【答案】由A＝B可知无解，即不存在 m使得 A＝B.
变式 2、把本例条件“A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}”改为“B⊆A，B＝{m＋1≤x≤2m－
1}”，求实数 m的取值范围．
【答案】①若 B＝∅，则 m＋1>2m－1，即 m<2，此时满足 B⊆A.
②若B≠∅，则解得 2≤m≤3.
由①②得，m的取值范围是{m|m≤3}．
3．集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn 图
2
交集 由属于集合
A
且属于集合
B
的所有
元素组成的集合
A
∩
B
＝{
x
|
x
∈
A
且
x
∈
B
}
并集 由所有属于集合
A
或属于集合
B
的
元素组成的集合
A
∪
B
＝{
x
|
x
∈
A
或
x
∈
B
}
补集 由全集
U
中不属于集合
A
的所有元
素组成的集合 ∁
UA
＝{
x
|
x
∈
U
且
x
∉
A
}
4．集合的运算性质
（1）．
A
∪
B
＝
A
⇔
B
⊆
A
，
A
∩
B
＝
A
⇔
A
⊆
B．
（2）．
A
∩
A
＝
A
，
A
∩∅＝∅.
（3）．
A
∪
A
＝
A
，
A
∪∅＝
A．
（4）．
A
∩(∁
UA
)＝ ，∅
A
∪(∁
UA
)＝
U
，∁
U
(∁
UA
)＝
A．
（5）．
A
⊆
B
⇔
A
∩
B
＝
A
⇔
A
∪
B
＝
B
(⇔ ∁
UA
) (⊇ ∁
UB
)⇔
A
∩(∁
UB
)＝∅.
例3、设 U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}，a为实数，
(1)分别求 A∩B，A∪(∁UB)．
(2)若B∩C＝C，求 a的取值范围.
【答案】(1)因为 A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，所以∁UB＝{x|x≤2或x≥4}，所以 A∩B＝
{x|2<x≤3}，A∪(∁UB)＝{x|x≤3或x≥4}．
(2)因为 B∩C＝C，所以 C⊆B，因为 B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}，若 C＝∅，则 a＋
1<a，无解，所以 C≠∅，所以 2<a，a＋1<4，所以 2<a<3.
[跟踪训练]
2．已知集合 A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5<x<10}，C＝{x|x>a}．
(1)求A∪B，(∁RA)∩B；
(2)若A∩C≠∅，求 a的取值范围．
【答案】(1)∵A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5<x<10}．
∴A∪B＝{x|4≤x<10}．
又∁RA＝{x|x<4 或x≥8}，
∴(∁RA)∩B＝{x|8≤x<10}．
(2)如图
要使 A∩C≠∅，则 a<8.
5．函数的概念
两个集合
A
，
B A
，
B
是两个非空数集
对应关系
f
：
A
→
B
如果按照某种确定的对应关系
f
，使对于集合
A
中的任意一个数
x
，
在集合
B
中都有唯一确定的数
f
(
x
)与之对应
3
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