高一数学培优对点题组专题突破专题39 三角恒等变换（解析版）
专题 39 三角恒等变换
考点 1 两角差的余弦公式
1.cos79°cos34°＋sin79°sin34°等于（ ）
A．
1
2
B．
√
3
2
C．
√
2
2
D．1
【答案】C
【解析】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝cos（79°－34°）＝cos45°＝
√
2
2
.
2.cos15°的值是（ ）
A．
√
6−
√
2
4
B．
√
2−
√
6
4
C．
√
2+
√
6
4
D．
√
2+
√
3
4
【答案】C
【解析】cos15°＝cos（45°－30°）＝
√
2
2
（cos30°＋sin30°）＝
√
6+
√
2
4
.
3.已知 cos（x－
π
3
）＝－
√
3
3
，则 cosx＋cos（x－
π
3
）等于（ ）
A．－
2
√
3
3
B．±
2
√
3
3
C．－1 D．±1
【答案】C
【解析】∵cos（x－
π
3
）＝－
√
3
3
，
cos∴x＋cos（x－
π
3
）＝cosx＋
1
2
cosx＋
√
3
2
sinx
＝
3
2
sinx＋
√
3
2
cosx＝
√
3
（
√
3
2
sinx＋
1
2
cosx）＝
√
3
cos（x－
π
3
）＝－1.
1
4.若cos（α－β）＝
√
5
5
，cos2α＝
√
10
10
，其中 α，β均为锐角且 α＜β，则 α＋β的值为（
）
A．
π
6
B．
π
4
C．
3π
4
D．
5π
6
【答案】C
【解析】sin（α－β）＝－
2
√
5
5
（－
π
2
＜α－β＜0），sin2α＝
3
√
10
10
，
cos∴（α＋β）＝cos[2α－（α－β）]＝cos2αcos（α－β）＋sin2αsin（α－β）
＝
√
10
10
×
√
5
5
＋
3
√
10
10
×
(
−2
√
5
5
)
＝－
√
2
2
，∵α＋β∈（0，π），∴α＋β＝
3π
4
.
5. 已 知 △ ABC 的 三 个 内 角 分 别 为 A，B，C， 若 a＝ （ cosA，sinA） ， b＝
（cosB，sinB），且 a·b＝1，则△ABC 一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为 a·b＝cosAcosB＋sinAsinB＝cos（A－B）＝1，又∵A，B，C是三角形的
内角，
所以 A＝B，即△ABC 一定是等腰三角形，故选 B.
6.已知△ABC 中，tanA＝
cos B−cos C
sin C−sin B
成立，则△ABC 为（ ）
A．等腰三角形
B．A＝60°的三角形
C．等腰三角形或 A＝60°的三角形
D．不能确定
【答案】B
2
【解析】∵tanA＝
sin A
cosA
，∴
sin A
cosA
＝
cos B−cos C
sin C−sin B
，
即sinA（sinC－sinB）＝cosA（cosB－cosC），
sinAsinC－sinAsinB＝cosAcosB－cosAcosC.
cos∴AcosB＋sinAsinB＝cosAcosC＋sinAsinC.
cos∴（A－B）＝cos（A－C）．（*）
∵在△ABC 中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，
∴－π＜A－B＜π，－π＜A－C＜π.
则（*）式为 A－B＝A－C或A－B＝－（A－C），
则B＝C或2A＝B＋C.
∵A＋B＋C＝π，∴A＝
π
3
.
若B＝C，则已知等式右边分母为 0，不合题意，故选 B.
7.已知函数 f（x）＝Asin（x＋φ）（A>0,0＜φ＜π，x∈R）的最大值是 1，其图象经过
点M（
π
3
，
1
2
）．
（1）求 f（x）的解析式；
（2）已知 α，β∈（0，
π
2
），且 f（α）＝
3
5
，f（β）＝
12
13
，求 f（α－β）的值．
【答案】（1）依题意有 A＝1，则 f（x）＝sin（x＋φ），
将点 M（
π
3
，
1
2
）代入，得 sin（
π
3
＋φ）＝
1
2
，
而0＜φ＜π，∴
π
3
＋φ＝
5π
6
，∴φ＝
π
2
.
3
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