高一数学培优对点题组专题突破专题37 正、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性和最值（解析版）

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专题 37 正、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性和最值
考点 1 正弦函数、余弦函数的周期性
1.如果函数 y＝sin（πx＋θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是 T，且当 x＝2时取得最大值，
那么（　　）
A．T＝2，θ＝
π
2
B．T＝1，θ＝π
C．T＝2，θ＝π
D．T＝1，θ＝
π
2
【答案】A
【解析】由题意得 sin（2π＋θ）＝1，又 0＜θ＜2π，∴θ＝
π
2
，最小正周期 T＝
2π
π
＝2.
2.下列是定义在 R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
1
【解析】对于 D，x∈（－1,1）时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数.
3.定义在 R上的函数 f（x）既是奇函数又是周期函数，若 f（x）的最小正周期为 π，且
当x∈
[
−π
2,0
)
时，f（x）＝sinx，则 f
(
−5π
3
)
的值为（　　）
A．－
1
2
B．
C．－
√
3
2
D．
√
3
2
【答案】D
【解析】f
(
−5π
3
)
＝f
(
π
3
)
＝－f
(
−π
3
)
＝－sin
(
−π
3
)
＝sin
π
3
＝
√
3
2
.
4.设函数 f（x）＝sin
π
3
x，则 f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2013）＝________.
【答案】
√
3
【解析】∵f（x）＝sin
π
3
x的周期 T＝
2π
π
3
＝6.
∴f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2013）＝335[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋
f（5） ＋ f（6）]＋f（2011 ） ＋ f（2012 ） ＋ f（2013 ） ＝ 335·
(
sin π
3＋sin 2
3π＋sinπ ＋sin 4
3π＋sin 5
3π＋sinπ
)
＋f（335×6＋1）＋f（335×6＋2）＋
f（335×6＋3）＝335×0＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝sin
π
3
＋sin
2
3
π＋sinπ＝
√
3
.
考点 2 正弦函数、余弦函数的奇偶性
5.下列函数中，最小正周期为 π的奇函数是（　　）
A．y＝sin（2x＋
π
2
）
B．y＝cos（2x＋
π
2
）
C．y＝sin2x＋cos2x
2
D．y＝sinx＋cosx
【答案】B
【解析】由于函数 y＝sin（2x＋
π
2
）＝cos2x为偶函数，故排除 A；
由于函数 y＝cos（2x＋
π
2
）＝－sin2x为奇函数，且周期为
2π
2
，故 B满足条件；
由于函数 y＝sin2x＋cos2x＝
√
2
sin（2x＋
π
4
）为非奇非偶函数，故排除 C；
由于函数 y＝sinx＋cosx＝
√
2
sin（x＋
π
4
）为非奇非偶函数，故排除 D，故选 B.
6.下列命题中正确的是（　　）
A．y＝－sinx为奇函数
B．y＝|sinx|既不是奇函数也不是偶函数
C．y＝3sinx＋1为偶函数
D．y＝sinx－1为奇函数
【答案】A
【解析】y＝|sinx|是偶函数，y＝3sinx＋1与y＝sinx－1都是非奇非偶函数.
7.设f（x）＝12sin（2x＋φ）（φ是常数）.
（1）求证：当 φ＝
π
2
时，f（x）是偶函数；
（2）求使 f（x）为偶函数的所有 φ值的集合.
【答案】（1）证明　当 φ＝
π
2
时，f（x）＝12sin（2x＋
π
2
）＝12cos2x，f（－x）＝
f（x），f（x）是偶函数.
（2）解　由题意：f（－x）＝f（x），
3
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