高一数学培优对点题组专题突破专题28 对数函数的图像和性质（二）（解析版）

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专题 28 对数函数的图像和性质（二）

考点 1函数的反函数

1.函数 y＝lnx＋1(x>0)的反函数为(　　)

A．y＝ex＋1(x∈R)

B．y＝ex－1(x∈R)

C．y＝ex＋1(x>1)

D．y＝ex－1(x>1)

【答案】B

【解析】由 y＝lnx＋1，得 x＝ey－1.

又因为函数 y＝lnx＋1的值域为 R，

于是 y＝lnx＋1的反函数为 y＝ex－1(x∈R)．

故选 B.

2.函数 f(x)＝(x－1)2＋1(x<1)的反函数为(　　)

A．f－1(x)＝1＋

√

x−1

(x>1)

B．f－1(x)＝1－

√

x−1

(x>1)

C．f－1(x)＝1＋

√

x−1

(x≥1)

D．f－1(x)＝1－

√

x−1

(x≥1)

【答案】B

【解析】∵x<1⇒y＝(x－1)2＋1，∴(x－1)2＝y－1⇒x－1＝－

√

y−1

，

∴反函数为 f－1(x)＝1－

√

x−1

(x>1)．

3.已知指数函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)，f(x)的反函数记为 y＝g(x)，且 g(x)过点(4,2)，则 f(x)的解

析式是(　　)

A．f(x)＝log4x

B．f(x)＝log2x

C．f(x)＝2x

D．f(x)＝4x

【答案】C

【解析】指数函数的解析式为：f(x)＝ax(a>0，a≠1)，

∵f(x)的反函数记为 y＝g(x)函数的图象经过(4,2)点，

∴f(x)的图象经过(2,4)点，∴4＝a2，a＝2，

∴指数函数的解析式为 y＝2x.

故选 C.

4.已知函数 f(x)的反函数为 g(x)＝log2x＋1，则 f(2)＋g(2)等于(　　)

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】D

【解析】因为函数 f(x)的反函数为 g(x)＝log2x＋1，

所以 f(2)＋g(2)＝f(2)＋2.

而根据反函数的图象与性质可知 f(2)＝2，因此选 D.

5.函数 y＝f(x)的图象与 y＝2x的图象关于直线 y＝x对称，则函数 y＝f(4x－x2)的递增区间是

________．

【答案】(0,2)

【解析】∵函数 y＝f(x)的图象与 y＝2x的图象关于直线 y＝x对称，

∴y＝f(x)与y＝2x互为反函数，

∵y＝2x的反函数为 y＝log2x，

∴f(x)＝log2x，f(4x－x2)＝log2(4x－x2)．

令t＝4x－x2，则 t>0，即 4x－x2>0，∴x(0,4)∈，

又∵t＝4x－x2的对称轴为 x＝2，且对数的底数大于 1，

∴y＝f(4x－x2)的递增区间为(0,2)．

6.设f－1(x)为f(x)＝2x－2＋

，x[0,2]∈的反函数，则 y＝f(x)＋f－1(x)的最大值为________．

【答案】4

【解析】由题意得：f(x)在[0,2]上单调递增，值域为[

，2]，所以 f－1(x)在[

，2]上单调递

增，因此 y＝f(x)＋f－1(x)在[

，2]上单调递增，其最大值为 f(2)＋f－1(2)＝2＋2＝4.

考点 2 指数函数和对数函数的关系

7.函数 f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a，则 a的值为(　　)

A．

B．

C．2

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