高一数学考点讲解练6.1 平面向量的概念（解析版）

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6.1 平面向量的概念

考点讲解

考点 1：向量的有关概念

零向量长度为 0的向量，记作 0

单位向量长度等于 1个单位的向量

平行向量

(共线向量)

方向相同或相反的非零向量向量 a，b平行，记作 a∥b规定：

零向量与任一向量平行

相等向量长度相等且方向相同的向量向量 a与b相等，记作 a＝b

【例 1】　判断下列命题是否正确，请说明理由：

（1）若向量 a与b同向，且|a|>|b|，则 a>b；

（2）若向量|a|＝|b|，则 a与b的长度相等且方向相同或相反；

（3）对于任意向量|a|＝|b|，若 a与b的方向相同，则 a＝b；

（4）由于 0方向不确定，故 0不与任意向量平行；

（5）向量 a与向量 b平行，则向量 a与b方向相同或相反．

【解析】　(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．

(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．

(3)正确．因为|a|＝|b|，且 a与b同向，由两向量相等的条件，可得 a＝b.

(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．

(5)不正确．因为向量 a与向量 b若有一个是零向量，则其方向不定．

【方法技巧】

1．理解零向量和单位向量应注意的问题

（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．

（2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．

2．共线向量与平行向量

（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；

（2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；

（3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．

提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．

【针对训练】

1．给出下列命题：

①若a∥b，b∥c，则 a∥c.

② 若单位向量的起点相同，则终点相同．

③ 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

④ 向量AB与CD是共线向量，则 A，B，C，D四点必在同一直线上．

其中正确命题的序号是．

【答案】③　

【解析】①错误．若 b＝0，则①不成立；

② 错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；

③ 正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．

④ 错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD必须在同一

直线上．

考点 2：向量的表示及应用

1. 带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．

2. 向量可以用有向线段表示．向量AB的大小，也就是向量 AB的长度(或称模)，记作|AB|．向量也可

以用字母 a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：AB，CD.

【例 2】（1）如图， B，C是线段 AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出

个向量．

（2）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1)，用直尺和圆规画出下列向量：

①OA，使|OA|＝4，点 A在点 O北偏东 45°；

②AB，使|AB|＝4，点 B在点 A正东；

③BC，使|BC|＝6，点 C在点 B北偏东 30°.

（1）【答案】 12 　【解析】可以写出 12 个向量，分别是：

AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.

（2）【解析】　①由于点 A在点 O北偏东 45°处，所以在坐标纸上点 A距点 O的横向小方格数与纵向

小方格数相等．又|OA|＝4，小方格边长为 1，所以点 A距点 O的横向小方格数与纵向小方格数都为 4，于

是点 A位置可以确定，画出向量OA如图所示．

② 由于点 B在点 A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点 B距点 A的横向小方格数为 4，纵向小

方格数为 0，于是点 B位置可以确定，画出向量AB如图所示．

③ 由于点 C在点 B北偏东 30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点 C距点 B的横向小方

格数为 3，纵向小方格数为 3≈5.2，于是点 C位置可以确定，画出向量BC如图所示．

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