高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）6.4.3.1 余弦定理（解析版）

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6.4.3.1 余弦定理

考点讲解

考点 1：已知两边与一角解三角形

1．余弦定理

文字

表述

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹

角的余弦的积的两倍

符号

语言

a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C

推论

cos A＝；cos B＝；cos C＝

2．解三角形

（1）一般地，三角形的三个角 A，B，C和它们的对边 a

，

c叫做三角形的元素．

（2）已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

【例 1】（1）在△ABC 中，已知 b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则 a＝________cm；

（2）在△ABC 中，若 AB＝，AC＝5，且 cos C＝，则 BC＝________.

【解析】(1)由余弦定理得：

a＝

＝60(cm)．

(2)由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×，

所以 BC2－9BC＋20＝0，解得 BC＝4或BC＝5.

【方法技巧】

已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出

其余角.

【针对训练】

1．在△ABC 中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形.

【解析】根据余弦定理得，

b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8，∴b＝2，

又∵cos A＝

＝＝，

∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.

考点 2：已知三边解三角形

【例 2】　在△ABC 中，已知 a＝2，b＝6＋2，c＝4，求 A，B，C

．

【解析】　根据余弦定理，cos A＝

＝＝.

∵A(0∈，π)，∴A＝，cos C＝

＝＝，

∵C(0∈，π)，∴C＝.

∴B＝π－A－C＝π－－＝π，

∴A＝，B＝π，C＝.

【方法技巧】

1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值

为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．

2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为

已知三边求解．

【针对训练】

2．已知△ABC 中，a∶b∶c＝2 (∶∶ ＋1)，求△ABC 中各角的度数．

【解析】　已知 a∶b∶c＝2 (∶∶ ＋1)，令 a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，

由余弦定理的推论，得 cos A＝

＝＝，

0°<∵A<180°，∴A＝45°.

cos B＝

＝＝，

0°<∵B<180°，∴B＝60°.

∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.

考点 3：余弦定理的综合应用

【问题探究】在△ABC 中，若 c2＝a2＋b2，则 C＝成立吗？反之若 C＝，则 c2＝a2＋b2成立吗？为什么？

【解析】　成立．因为 c2＝a2＋b2，所以 a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形 cos C＝＝0，即 cos C＝0，

所以 C＝；反之若 C＝，则 cos C＝0，即＝0，所以 a2＋b2－c2＝0，即 c2＝a2＋b2.

【例 3】　在△ABC 中，若(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a，判断△ABC 的形状.

【解析】　∵(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a，

∴由余弦定理可得：

·b＝·a，

整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，

即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，

∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.

∴a2＋b2＝c2或a＝b.

故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．

【变式探究】

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