高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）6.2.2 向量减法运算（解析版）

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6.2.2 向量减法运算

考点讲解

考点 1：向量减法的几何意义

【例 1】　（1）如图所示，四边形 ABCD 中，若AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC＝(　　)

A．a－b＋c

B．b－(a＋c)

C．a＋b＋c

D．b－a＋c

（2）如图所示，已知向量 a，b，c不共线，求作向量 a＋b－c.

思路点拨：(1)利用向量减法和加法的几何意义，将DC向AB，BC，AD转化；

(2)利用几何意义法与定义法求出 a＋b－c的值．

【解析】（1）DC＝AC－AD＝(AB＋BC)－AD＝a＋c－b.故选 D

(2)法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点 O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC

＝c，则CB＝a＋b－c.

法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点 O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作BC＝－c，

连接 OC，则OC＝a＋b－c.

图①　　　　　　图②

【方法技巧】

求作两个向量的差向量的两种思路

（1）可以转化为向量的加法来进行，如 a－b，可以先作－b，然后作 a＋(－b)即可．

（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，

指向被减向量的终点的向量．

【针对训练】

1．如图，已知向量 a，b，c，求作向量 a－b－c.

【解析】法一：先作 a－b，再作 a－b－c即可．

如图①所示，以 A为起点分别作向量AB和AC，使AB＝a，AC＝b.连接 CB，得向量CB＝a－b，再以 C

为起点作向量CD，使CD＝c，连接 DB，得向量DB.则向量DB即为所求作的向量 a－b－c.

图①　　　　　　　图②

法二：先作－b，－c，再作 a＋(－b)＋(－c)，如图②.

(1)作AB＝－b和BC＝－c；

(2)作OA＝a，则OC＝a－b－c.

考点 2：向量减法的运算及简单应用

1．向量的减法

（1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．

（2）作法：在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则向量 a－b＝BA，如图所示．

【例 2】（1）如图所示，

①用a，b表示DB；

②用b，c表示EC.

（2）化简下列各向量的表达式：

①AB＋BC－AD；②(AB－CD)－(AC－BD)；③(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)．

思路点拨：按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相

同．

【解析】(1)∵BC＝a，CD＝b，DE＝c.

①DB＝CB－CD＝－BC－CD＝－a－b.

②EC＝－CE＝－(CD＋DE)＝－b－c.

(2)①AB＋BC－AD＝AC－AD＝DC.

(②AB－CD)－(AC－BD)＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0.

(③AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)

＝(AC＋BA)－(OC－OB)＝BC－BC＝0.

[一题多解]

(2)② 法一：(加法法则)

原式＝AB－CD－AC＋BD

＝(AB＋BD)－(AC＋CD)

＝AD－AD＝0；

法二：减法法则(利用相反向量)

原式＝AB－CD－AC＋BD

＝(AB－AC)＋(DC－DB)

＝CB＋BC＝0；

法三：减法法则(创造同一起点)

原式＝AB－CD－AC＋BD

＝(OB－OA)－(OD－OC)－(OC－OA)＋(OD－OB)

＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0.

【方法技巧】

1．向量减法运算的常用方法

2．向量加减法化简的两种形式

（1）首尾相连且为和．

（2）起点相同且为差．

解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．

3．与图形相关的向量运算化简

首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等

关系辅助化简运算．

【针对训练】

2．化简下列向量表达式：

（1）OM－ON＋MP－NA；

（2）AD－BM)＋(BC－MC)．

【解析】(1)OM－ON＋MP－NA＝NM＋MP－NA＝NP－NA＝AP.

(2)(AD－BM)＋(BC－MC)＝AD＋MB＋BC＋CM＝AD＋(MB＋BC＋CM)＝AD＋0＝AD.

考点 3：向量减法几何意义的应用

【例 3】（1）在四边形 ABCD 中，AB＝DC，若|AD－AB|＝|BC－BA|，则四边形 ABCD 是(　　)

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