高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）6.2.1 向量加法运算（解析版）

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6.2.1 向量加法运算

考点讲解

考点 1：向量加法的三角形法则和平行四边形法则

三角形法

则

已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做 a

与b的和，记作 a＋b，即 a＋b＝AB＋BC＝AC.

平行四边

形法则

已知两个不共线向量 a，b，作AB＝a，AD＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，

则对角线上的向量AC＝a＋b.

【例 1】　（1）如图，在△ABC 中，D，E分别是 AB，AC 上的点，F为线段 DE 延长线上一点，

DE∥BC，AB∥CF，连接 CD，那么(在横线上只填上一个向量)：

①AB＋DF＝；

②AD＋FC＝；

③AD＋BC＋FC＝．

（2）①如图甲所示，求作向量和 a＋b；

② 如图乙所示，求作向量和 a＋b＋c.

甲　　　　　　乙

思路点拨：(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简．

(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．

【解析】(1)①AC　②AB　③AC　[如题图，由已知得四边形 DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算

法则可知：

①AB＋DF＝AB＋BC＝AC.

②AD＋FC＝AD＋DB＝AB.

③AD＋BC＋FC＝AD＋DF＋FC＝AC.]

(2)[解]　①首先作向量OA＝a，然后作向量AB＝b，则向量OB＝a＋b.如图所示．

② 解法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点 O，作向量OA＝a，再作向量AB＝b，则得

向量OB＝a＋b，然后作向量BC＝c，则向量OC＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．

解法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点 O，作向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，以

OA，OB 为邻边作▱OADB，连接 OD，则OD＝OA＋OB＝a＋b.再以 OD，OC 为邻边作▱ODEC，连接

OE，则OE＝OD＋OC＝a＋b＋c即为所求．

【变式训练】

1．在本例(1)条件下，求CB＋CF.

【解析】　因为 BC∥DF，BD∥CF，所以四边形 BCFD 是平行四边形，所以CB＋CF＝CD.

2．在本例(1)图形中求作向量DA＋DF＋CF.

【解析】　过 A作AG∥DF 交CF 的延长线于点 G，

则DA＋DF＝DG，作GH＝CF，连接DH，

则DH＝DA＋DF＋CF，如图所示．

【方法技巧】

1．向量求和的注意点

（1）三角形法则对于两个向量共线时也适用．

（2）两个向量的和向量仍是一个向量．

（3）平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．

2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利

用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．

注意：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作

出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．

考点 2：向量加法运算律的应用

1. 向量加法的运算律

（1）交换律：a＋b＝b＋a．

（2）结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

【例 2】　（1）化简：

①BC＋AB； ②DB＋CD＋BC； ③AB＋DF＋CD＋BC＋FA.

（2）如图，E，F，G，H分别是梯形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，化简下列各式：

①DG＋EA＋CB；

②EG＋CG＋DA＋EB.

思路点拨：根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．

【解析】　(1)①BC＋AB＝AB＋BC＝AC；

②DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB＝0；

③AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA＝0.

(2)①DG＋EA＋CB＝GC＋BE＋CB＝GC＋CB＋BE＝GB＋BE＝GE；

②EG＋CG＋DA＋EB＝EG＋GD＋DA＋AE＝ED＋DA＋AE＝EA＋AE＝0.

【方法技巧】

向量加法运算律的意义和应用原则

（1）意义：

向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．

实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的

组合来进行．

（2）应用原则：

利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加

的顺序．

【针对训练】

1．向量(AB＋PB)＋(BO＋BM)＋OP化简后等于(　　)

A．BC　　　 B．AB

C．AC D．AM

【答案】D　

【解析】原式＝(AB＋BM)＋(PB＋BO＋OP)＝AM＋0＝AM.

考点 3：向量加法的实际应用

【例 3】　如图，用两根绳子把重 10 N 的物体 W吊在水平杆子 AB 上，∠ACW＝150°，∠BCW＝

120°，求 A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．

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