高一《新题速递·数学》（人教A版2019）考点12 平面向量及其应用压轴题汇总（解析版）

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考点 12 平面向量及其应用压轴题汇总
一、单选题（共 12 小题）
1.（2020•辽源模拟）设 D为△ABC 所在平面内一点 ＝3，则（　　）
A． ＝ + B． ＝ ﹣
C． ＝ ﹣ D． ＝﹣ +
【答案】D
【分析】 ＝ +＝+＝ ﹣ ．
【解答】解：如图， ＝ +＝+
＝ ﹣ ，
故选：D．
【知识点】平面向量的基本定理
2.（2020 春•鹿城区校级月考）在平面上， ， ，是方向相反的单位向量，| |＝2，（ ﹣ ）•（ ﹣
）＝0，则|﹣|的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．2 D．3
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，得出 得坐标满足的条件，然后用三角函数设出向量的坐标解决问题．
【解答】解：以 ，的方向为 x轴的正方向， 的起点为原点建立平面直角坐标系，
1
则 ＝（1，0）， ＝（﹣1，0），设 ，
由，| |＝2，设 ，
由 ﹣ ）•（ ﹣ ）＝0得（x1﹣ ）（x+1）+y2＝0，
即x2+y2＝1，故可以设 ，
所以|﹣|＝
＝
所以|﹣|得最大值为 3．
故选：D．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算
3.（2020 春•沭阳县期中）在锐角△ABC 中，a，b，c分别为内角 A，B，C所对的边，若 ，
则b+c的取值范围是（　　）
A．B．[，2 ] C．D．（3，2 ]
【答案】D
【分析】由正弦定理可得： ＝ ＝2，于是 b+c＝2sinB+2sinC＝2sinB+2sin（ ﹣B）
＝2 sin（B+），根据已知可求 B∈（ ， ），再利用三角函数的值域即可得出．
【解答】解：∵由正弦定理可得： ＝ ＝2，
∴b+c
＝2sinB+2sinC
＝2sinB+2sin（ ﹣B）
＝2sinB+2（cosB+ sinB）
＝3sinB+ cosB
＝2 sin（B+），
2
∵B，C为锐角，B+C＝ ，
∴B∈（ ， ），可得：B+∈（ ， ），
sin∴（B+）∈（ ，1]，
∴b+c＝2 sin（B+）∈（3，2 ]，
故选：D．
【知识点】正弦定理
4.（2020 秋•赣州期末）在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，△ABC 的面积为 S， 且
，则△ABC 的面积 S的最大值为（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求 tanB，可得 cosB，sinB的值，由余弦定理，基本不等式可求
ac≤12（2+ ） 据三角形的面积公式即可求解其最大值．
【解答】解：∵ ＝ ×（2accosB）＝ acsinB，
tan∴B＝ ，B＝ ，cosB＝ ，sinB＝ ，
又∵b＝2 ，由余弦定理可得：12＝a2+c2﹣×ac≥（2﹣ ）ac，
∴ac≤＝12（2+ ），
∴S△ABC＝acsinB≤ ×12（2）×＝6，
∴面积 S的最大值为 6．
故选：C．
【知识点】余弦定理
5.（2020 秋•福建月考）在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 ，
△ABC 的面积为 ，| |＝2，则 在 方向上的投影为（　　）
3
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