高三数学选择题填空题专题4.3 立体几何的动态问题（解析版）

3.0 envi 2025-04-11 5 4 1.72MB 38 页 3知币
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玩转压轴题，突破 140 分之高三数学选填题高端精品
一．方法综述
立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解
问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、
平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距
离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.
动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态
因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过
程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探
究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态
问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.
二．解题策略
类型一 立体几何中动态问题中的角度问题
例1.（2016·四川高考）如图，四边形 和 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M
在线段 上，E、F分别为 、 的中点，设异面直线 与 所成的角为 ，则 的最大值
为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
专题 4.3 立体几何的动态问题
1
解法一：根据已知条件， ， ， 三直线两两垂直，分别以这三直线为 ， ， 轴，建立如图
所示空间直角坐标系，设 ，则：
， ， ；
在线段 上，设 ， ；
； ；
设 ， ；
函数 是一次函数，且为减函数， ；
在 恒成立， ；
在 上单调递减； 时， 取到最大值 ．故选： ．
解法二：
2
，当 时取等号.所以
，当 时，取得最大值.
【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐
标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值.当点
M在P处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为 0（最小），当 M点向左移动时，EM 与AF 所成
角逐渐变小时，点 M到达点Q时，角最小，余弦值最大.
【举一反三】
1．（2020·黑龙江牡丹江一中高三（理））如图，在正方体 中， 是 中点，点
在线段 上，若直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，设正方体棱长为1， ．
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