高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题45 空间几何体的折叠问题（解析版）

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专题 45 空间几何体的折叠问题

一、题型选讲

题型一、展开问题

例1、【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中，AC=1，

，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则 cos∠FCB=______________.

【答案】

【解析】，，，

由勾股定理得，

同理得，，

在中，，，，

由余弦定理得，

，

在中，，，，

由余弦定理得 .

故答案为： .

例2、(2017 南京三模）如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点 D为

侧棱 BB1上的动点．当 AD＋DC1最小时，三棱锥 D－ABC1的体积为 ▲ ．

【答案】．

【解析】：将侧面展开如下图，所以由平面几何性质可得：，当且仅当

三点共线取到 .此时，所以 .在直三棱柱 ABC －A1B1C1中有

，又，易得平面，所以平面，即是三棱锥

的高，所以

题型二、折叠问题

例3、【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】图 1是由矩形 ADEB，Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中

AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与BF 重合，连结 DG，如图 2.

（1）证明：图 2中的 A，C，G，D四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE；

A C

（2）求图 2中的二面角 B−CG−A 的大小.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）由已知得 AD BE ，CG BE ，所以 AD CG，故 AD ，CG 确定一个平面，从而 A，

C，G，D四点共面．

由已知得 AB BE，AB BC，故 AB 平面 BCGE．

又因为 AB 平面 ABC，所以平面 ABC 平面 BCGE．

（2）作 EH BC，垂足为 H．

因为 EH 平面 BCGE，平面 BCGE 平面 ABC，所以 EH 平面 ABC．

由已知，菱形 BCGE 的边长为 2，∠EBC=60°，可求得 BH=1，EH=．

以H为坐标原点，的方向为 x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 H–xyz，

则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，）， =（1，0，）， =（2，–1，0）．

设平面 ACGD 的法向量为 n=（x，y，z），则

即

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