高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题42 圆锥曲线中的向量问题（解析版）

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专题 42 圆锥曲线中的向量问题
一、题型选讲
题型一 、有向量关系求圆锥曲线的离心率
例1、（2020 届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆 的内接 的顶
点 为短轴的一个端点，右焦点 ，线段 中点为 ，且 ，则椭圆离心率的取值范围是___
________.
【答案】
【解析】
由题意可设 ， ，线段 中点为 ，且 ，
可得 为 的重心，设 ， ，
由重心坐标公式可得， ， ，
即有 的中点 ，可得 ， ，
由题意可得点 在椭圆内，可得 ，
由 ，可得 ，即有 .
故答案为： .
例2、（2020 届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）已知双曲线
1
的右焦点为 ，过 且斜率为 的直线交 于 、 两点，若 ，
则 的离心率为______.
【答案】
【解析】因为直线 过点 ，且斜率为
所以直线 的方程为：
与双曲线 联立消去 ，得
设
所以
因为 ，可得
代入上式得
消去 并化简整理得：
将 代入化简得：
解之得
2
因此，该双曲线的离心率
故答案为：
例 3、（2019 届全国 100 所名校最新高考模拟示范卷）椭圆
C:x2
a2+y2
b2=1
(
a>b>0
)
的右焦点为
F
(
c , 0
)
，直
线
x − 2
√
2y=0
与
C
相交于
A
、
B
两点.若
，则椭圆
C
的离心率为______.
【答案】
√
3
2
【解析】设
A
(
2
√
2y0, y0
)
，
∵
⃑
AF ⋅
⃑
BF=0
，即
⃑
AF ⊥
⃑
BF
，
∴
|
⃑
OF
|
=
|
⃑
OA
|
，则
8y0
2+y0
2=c2
，即
9y0
2=c2
①，又
8y0
2
a2+y0
2
b2=1
，
∴y0
2=a2b2
8b2+a2
②，
由①②得
8c4−18 a2c2+9a4=0
，即
8e4−18 e2+9=0
，
e2=3
4
或
e2=3
2
（舍去），解得
e=
√
3
2
.
故答案为：
√
3
2
.
题型二、求向量数量积的范围
例4、【2020 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为
F1，F2，点 A在椭圆 E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线 AF1与椭圆 E相交于另一点 B
．
（1）求 的周长；
（2）在 x轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E的右准线相交于点 Q，求 的最小值；
3
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