高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题41 概率统计与函数、不等式的综合（解析版）

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专题 41 概率统计与函数、不等式的综合
一、题型选讲
题型一 、概率与函数的交汇
例1、（2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设
02
3
a 
，随机变量
X
的分布列是：
X
1
0 1
P
a
2
3a
1
3
则当
a
在
2
03
 
 
 
，
内增大时（ ）
A．
增大 B．
减小 C．
 
D X
先增大后减小 D．
 
D X
先减小后增大
【答案】A
【解析】根据随机变量的分布列
  
2
1 0 1
3
( )E aX a  ＝
1
3
1
3a＝
，
则
 
2 2
1 1 2
1 0
3 3 3
XD a a a a
 
 
     
 
 
 
 
＝
2
1 1
13 3
a
 
 
 
 
 
 
 
＝
2
5 2
3 9
a a 
＝
2
5 33
6 36
a
 
 
 
 
由于函数
 
D X
的图象为关于
a
的开口方向向下的抛物线，且
2
03
a＜ ＜
，函数的对称轴为
5
6
a＝
，
故
 
D X
增大.
例2、【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之
前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再
1
根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为
p(0<p<1)
，且各
件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 20 件产品中恰有 2件不合格品的概率为
f(p)
，求
f(p)
的最大值点
p0
．
（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2件不合格品，以（1）中确定的
p0
作为
p
的值．已知每件
产品的检验费用为 2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
X
，求
EX
；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】（1） ；（2）（i） ，（ii）应该对余下的产品作检验．
【解析】（1）20 件产品中恰有 2件不合格品的概率为 ．
因此 ．
令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ．
所以 的最大值点为 ．
（2）由（1）知， ．
（i）令 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，
依题意知 ， ，即 ．
所以 ．
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元．
由于 ，故应该对余下的产品作检验．
例3、（2020 届山东省日照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产
2
 
5 15x x 
万件的该种产品所需要的总成本
 
3
2
23 16 30
9 10
x
C x x x 
（万元），依据产品尺寸，
产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了 1000 件产品测量尺寸，尺寸分别在
25.26, 25.30
，
25.30, 25.34
，
25.34, 25.38
，
25.38, 25.42
，
25.42, 25.46
，
25.46, 25.50
，
 
25.50, 25.54
（单位：
mm
）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.
产品的品质情况和相应的价格
m
（元/件）与年产量
x
之间的函数关系如下表所示.
产品品质 立品尺寸的范围 价格
m
与产量
x
的函数关系式
优
25.34, 25.46
34m x 
中
25.26, 25.34
325
5
m x 
差
 
25.46, 25.54
320
5
m x 
以频率作为概率解决如下问题：
（1）求实数
a
的值；
（2）当产量
x
确定时，设不同品质的产品价格为随机变量
，求随机变量
的分布列；
（3）估计当年产量
x
为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.
3
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