高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题40 概率中的单调性与最值问题（解析版）

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专题 40 概率中的单调性与最值问题
一、题型选讲
题型一 、概率中的单调性问题
例1、【2019 年高考浙江卷】设 0＜a＜1，则随机变量 X的分布列是
则当 a在（0
，
1）内增大时，
A． 增大 B． 减小
C． 先增大后减小 D． 先减小后增大
【答案】D
【解析】方法 1：由分布列得 ，
则 ，
则当 在 内增大时， 先减小后增大．故选 D．
方法 2：则 ，
则当 在 内增大时， 先减小后增大．故选 D．
例2、【2018 年高考浙江卷】设 ，随机变量 ξ的分布列是
ξ012
P
则当 p在（0，1）内增大时，
A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小
1
【答案】D
【解析】
∵E(ξ)=0×1− p
2+1×1
2+2×p
2=p+1
2
，
∴D(ξ)=1− p
2(0−p−1
2)
2
+1
2(1−p−1
2)
2
+p
2(2−p−1
2)
2
=− p2+p+1
4
，
∵1
2
∈(0，1)
，∴
D(ξ)
先增大后减小，故选 D．
例3、【2020 年高考山东】（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X所有可能的取值为
，且 ，定义 X的信息熵 .
A．若 n=1，则 H(X)=0
B．若 n=2，则 H(X)随着 的增大而增大
C．若 ，则 H(X)随着 n的增大而增大
D．若 n=2m，随机变量 Y所有可能的取值为 ，且 ，则
H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【解析】对于 A选项，若 ，则 ，所以 ，所以 A选项正确.
对于 B选项，若 ，则 ， ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
两者相等，所以 B选项错误.
2
对于 C选项，若 ，则
，
则 随着 的增大而增大，所以 C选项正确.
对于 D选项，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且 （
）.
.
由于
，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 D选项错误.
故选：AC
题型二、概率中的最值问题
例4、（2020·浙江温州中学高三 3月月考）随机变量 的可能值有 1，2，3，且 ，
3
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