高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题39 数列中的探索性问题（解析版）

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专题 39 数列中的探索性问题

数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方

法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来

进行求解，本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根

的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：

① 反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．

②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从

而得出原命题结论成立．

一、题型选讲

题型一、数列中项存在的问题

例1、（2020 届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前 n项和为．

(1)求的通项公式；

(2)数列满足为数列的前 n项和，是否存在正整数 m，，使得

?若存在，求出 m，k的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）设等差数列的公差为 d，

由得，解得，

；

（2），

，

若，则，整理得，

又，，整理得，

解得，

又，，，

∴存在满足题意．

例 2、（江苏省响水中学 2020 年秋学期高三年级第三次学情分析考试）在① ，，成等比数列，且

；② ，且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．

已知数列是公差不为 0的等差数列，，其前 n项和为，数列的前 n项和为，若

．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前 n项和．

（3）设等比数列的首项为 2，公比为，其前项和为，若存在正整数，使得

，求的值.

【解析】（1）选① ，选② …………4 分

（2） ………………………………………………8 分

（3）由（1）可得，，

由，得，

所以，

因为，所以，即，

由于，所以，

当时，，

所以的值为 ………………………………12 分

例3、(2018 无锡期末）已知数列{an}满足·…·＝，n∈N*，Sn是数列{an}的前 n项和．

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数 p，q的值；

(3) 是否存在 k∈N*，使得为数列{an}中的项？若存在，求出所有满足条件的 k的值；若不存在，请说

明理由．

【解析】 (1) 因为·…·＝，n∈N*，

所以当 n＝1时，1－＝，所以 a1＝2，(1 分)

当n≥2时，由·…·＝和…＝，两式相除可得 1－＝，即 an－an－1＝1(n≥2)，

所以，数列{an}是首项为 2，公差为 1的等差数列，

于是，an＝n＋1.(4 分)

(2) 因为 ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，

所以于是或(7 分)

当时，解得

当时，无正整数解，

所以 p＝5，q＝9.(10 分)

(3)假设存在满足条件的正整数 k，使得＝am(m∈N*)，则＝m＋1，

平方并化简得，(2m＋2)2－(2k＋3)2＝63，(11 分)

则(2m＋2k＋5)(2m－2k－1)＝63，(12 分)

所以或

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