高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题38 数列中的通项公式（解析版）

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专题 38 数列中的通项公式

一、题型选讲

题型一、由

an与Sn

的关系求通项公式

例1、（2020 届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，

且.

求数列的通项公式；

【解析】因为 , ,

所以 , ,

两式相减得 ,

整理得 ,

即, ,所以为常数列,

所以 ,

所以

例2、（2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列满足成等差数列，且

；等差数列的前 n项和 .求：

（1）；

【解析】设的公比为 q.

因为成等差数列，

所以，即 .

因为，所以 .

因此 .

由题意， .

所以，

，从而 .

所以的公差 .

所以 .

例3、（2020 届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且， .

求数列的通项公式；

【解析】当时，，整理得，，解得；

当时， ①，可得 ②，

①－②得，即，

化简得，

因为，，所以，

从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；

题型二、由

an+1与an

的递推关系求通项公式

例3、【2019 年高考全国 II 卷理数】已知数列{an}和{bn}满足 a1=1，b1=0，，

（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；

（2）求{an}和{bn}的通项公式.

【解析】（1）由题设得，即．

又因为 a1+b1=l，所以是首项为 1，公比为的等比数列．

由题设得，即．

又因为 a1–b1=l，所以是首项为 1，公差为 2的等差数列．

（2）由（1）知，，．

所以，

．

例4、（2020 届山东省德州市高三上期末）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中

，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中

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