高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题37 数列求和中的不等式问题（解析版）

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专题 37 数列求和中的不等式问题

一、题型选讲

题型一、数列中与不等式有关的证明问题

例1、【2020 年高考浙江】已知数列{an}，{bn}，{cn}满足．

（Ⅰ）若{bn}为等比数列，公比，且，求 q的值及数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若{bn}为等差数列，公差，证明：．

【解析】（Ⅰ）由得，解得．

由得．

（Ⅱ）由得，

所以，

由，得，因此．

例 2、（河北省衡水中学 2021 届上学期高三年级二调考试）甲、乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的

一道数列题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列

{an}

的前

项和为

，已知

，

(1)判断

S1, S2, S3

的关系并给出证明．

(2)若

a1−a3=3

，设

bn=n

12 |an|

{bn}

的前

项和为

，证明：

Tn<4

甲同学记得缺少的条件是首项

的值，乙同学记得缺少的条件是公比

的值，并且他俩都记得第(1)问

的答案是

S1, S3, S2

成等差数列．

如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．

【解析】：补充的条件为

q=−1

，

S1, S2, S3

的关系为

S1, S3, S2

成等差数列．

证明如下：

由题意可得

S1=a1

，

S2=a1+a2=a1−1

2a1=1

2a1

，

S3=a1+a2+a3=a1−1

2a1+1

4a1=3

4a1

，

可得

S1+S2=2S3

，因此

S1, S3, S2

成等差数列．（5分）

(2)证明：由

a1−a3=3

，可得

a1−1

4a1=3

解得

a1=4, an=4×

(

−1

)

n−1

（6分）

bn=n

12 |an|= n

12 |4×

(

−1

)

n−1

|= 2

，（7分）

则

Tn=2

(

1⋅1

2+2⋅1

4+3⋅1

8+⋯+n⋅1

)

2Tn=2

(

1⋅1

4+2⋅1

8+3⋅1

16 +⋯+n⋅1

2n+1

)

上面两式相减，

可得

2Tn=2

(

2+1

4+1

8+1

16 +⋯+ 1

2n−n⋅1

2n+1

)

[

(

1−1

)

1−1

−n⋅1

2n+1

]

（9分）

整理可得

Tn=2

(

2−n+2

)

(

1−n+2

2n+1

)

, (11 分)

因为

n∈N¿

1−n+2

2n+1<1

，所以

Tn<4

(12 分)

例3、（2020·浙江温州中学 3月高考模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，

（，且）

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：当时，

【解析】（1）由，得，即，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，

所以，即，

当时，，

当时，，也满足上式，所以；

（2）当时，，

所以

题型二、数列中与不等式有关的参数问题

例4、【2018 年高考江苏卷】已知集合，．将的

所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前 n项和，则使得成

立的 n的最小值为___________．

【答案】27

【解析】所有的正奇数和按照从小到大的顺序排列构成，在数列|中，25前面有

16 个正奇数，即 .当n=1 时，，不符合题意；当 n=2 时，

，不符合题意；当 n=3 时，，不符合题意；当 n=4 时，

，不符合题意； … … ；当 n=26 时，

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