高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题32 函数的存在与恒成立问题（原卷版）

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专题 32 函数的存在与恒成立问题

一、题型选讲

题型一、函数的存在问题

函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离

法，可遵循以下两点原则：

① ，则只需要

，则只需要

② ，则只需要

，则只需要

例1、【2019 年高考浙江】已知，函数，若存在，使得，

则实数的最大值是___________.

例2、(2016 泰州期末）若命题“存在 x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数 a的取值范围是________．

例 3、(2016 苏锡常镇调研）已知函数 f(x)＝x，若存在 x∈，使得 f(x)<2，则实数 a的取值范围是________．

题型二、函数的恒成立问题

函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变

分离法，可遵循以下两点原则：

（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分

离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他

方法。（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复

杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析

法“中的相关题目）

参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，

为其表达式）（1）若的值域为

① ，则只需要

，则只需要

② ，则只需要

，则只需要

例4、（2020 届山东省泰安市高三上期末）设函数

 

f x

在定义域(0，+∞)上是单调函数，

   

0, ,

x f f x e x e

 

     

 

，若不等式

   

f x f x ax



 

对

 

0,x 

恒成立，则实数 a的取

值范围是______．

变式 5、【2019 年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式

在上恒成立，则的取值范围为

A．B．

C．D．

例6、（2020 届山东省潍坊市高三上期末）已知函数

   

( ,)1

f x ae x a R g x x    

当

1, 0a x 

时，不等式

   

1f x kxln x 

恒成立，求实数

的取值范围.

题型三、函数的存在与恒成立的综合问题

多变量恒成立与存在问题：对于含两个以上字母（通常为 3 个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母

的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理

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