高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题31 运用构造法研究函数的性质（原卷版）

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专题 31 运用构造法研究函数的性质
一、题型选讲
题型一 、构造函数研究函数的单调性
例1、【2020 年高考全国 I卷理数】若 ，则
A．B．
C．D．
变式 1、（2020 届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数
( )f x
的定义域为
,
2 2
 
 
 
 
，其导函数为
( )f x
，
当
02
x
 
时，有
( ) cos ( )sin 0f x x f x x
 
成立，则关于 x的不等式
( ) 2 cos
4
f x f x
 
 
 
 
的解集为
（ ）
A．
,
4 2
 
 
 
 
B．
C．
,0 0,
4 4
 
 
 
 
 
D．
,0 ,
4 4 2
 
 
 
 
 
变式 2、（2020 届山东实验中学高三上期中）已知定义在
R
上的函数
 
f x
满足
 
2 2f x f x 
，且当
2x
时，有
     
2 , 1 1xf x f x f x f
 
  若
，则不等式
 
1
2
f x x
的解集是（ ）
A．
(2,3)
B．
 
,1
C．
 
1, 2 2,3
D．
 
,1 3,  
题型二、构造函数研究函数的零点等问题
例2、【2020 年高考天津】已知函数 若函数 恰有 4个
1
零点，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
变式 1、(2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）函数
   
1, 1,
ln 1 , 1,
x
e x
f x x x
 
若函数
   
g x f x x a  
只有一个零点，则
a
可能取的值有（ ）
A．2 B．
2
C．0 D．1
变式 2、【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 ．若 g（x）存
在2个零点，则 a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞）
C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
题型三、构造函数证明不等式
例 3、(2019 南通、泰州、扬州一调）已知函数 f(x)＝＋lnx(a∈R)．
设f(x)的导函数为 f′(x)，若 f(x)有两个不相同的零点 x1，x2.证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2.
例 5、(2017 苏州期末）已知函数 f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)． 若 x1≠x2，且 f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2＜e2k.
2
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