高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题29 函数的极值点问题的探究（解析版）

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专题 29 函数的极值点问题的探究
一、题型选讲
题型一 、函数极值的求解
例1、（2020 届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若函数
3
( ) ( ) 3f x x a x b 
的极大值是
M
，极小
值是
m
，则
M m
( )
A．与
a
有关，且与
b
有关 B．与
a
有关，且与
b
无关
C．与
a
无关，且与
b
无关 D．与
a
无关，且与
b
有关
【答案】C
【解析】∵
3
( ) ( ) 3f x x a x b 
，
∴
2
( ) 3( ) 3f' x x a  
，
令
2
( ) 3( ) 3 0f' x x a  
，得
，或
1x a 
，
当
x
变化时，
'( )f x
、
( )f x
的变化如下表：
x
 
, 1a 
 
1, 1a a 
1x a 
 
1,a 
'( )f x
0
0
( )f x
递增 极大值 递减 极小值 递增
∴
 
( 1) 1 3 1 2 3f a a bM a b  
，
 
( 1) 1 3 1 2 3m f a a b a b  
，
∴
4M m 
，
故选：C．
变式 1、【2019 年高考江苏】设函数 、 为 f（x）的导函数．
1
（1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a的值；
（2）若 a≠b，b=c，且 f（x）和 的零点均在集合 中，求 f（x）的极小值；
【解析】（1）因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
解得 ．
（2）因为 ，
所以 ，
从而 ．令 ，得 或 ．
因为 都在集合 中，且 ，
所以 ．
此时 ， ．
令 ，得 或 ．列表如下：
1
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
所以 的极小值为 ．
变式 2、（2020 届山东省济宁市高三上期末）已知函数
   
sin , lnf x x a x g x x m x   
.
(1)求证:当
1a
时,对任意
 
0, , 0x f x 
恒成立;
(2)求函数
 
g x
的极值;
2
【解析】 (1)
   
sin 1 cosf x x a x f x a x
 ，
1 cos 1x 
,
 
1 1 cos 0a f x a x
  ，
,
 
sinf x x a x 
在
 
0 ，
上为增函数,
所以当
 
0,x 
时,恒有
 
0 0f x f 
成立;
(2)由
   
ln , 1 0
m x m
g x x m x g x x
x x
 
当
 
0 0m g x
 ，
 
g x
在
 
0 ，
上为增函数,无极值
当
   
0,0 0; 0m x m g x x m g x
 
    ， ，
 
g x
在
 
0m，
上为减函数,在
 
,m 
上为增函数,
 
x m x   ，g
有极小值
 
lnm m m 
,无极大值,
综上知:当
 
0m g x，
无极值,
当
 
0m g x，
有极小值
 
lnm m m 
,无极大值.
题型二、极值的个数的证明与判断
例1、【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】 已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
【解析】（1）设 ，则 ， .
当 时， 单调递减，而 ，可得 在 有唯一零点，
设为 .
3
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