高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题27 函数单调性含参问题的研究（解析版）

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专题 27 函数单调性含参问题的研究

一、题型选讲

题型一、含参区间的讨论

求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解。

当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。当参数扮演多个角色时，则以

其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。

例1、【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数 .讨论的单调性；

【解析】．

令，得 x=0 或.

若a>0 ，则当时，；当时，．故在

单调递增，在单调递减；

若a=0，在单调递增；

若a<0 ，则当时，；当时，．故在

单调递增，在单调递减.

变式 1、（2019·夏津第一中学高三月考）已知函数

   

1 1 lnf x x m x m R

x x

 

    

 

 

．当

1m>

时，讨

论

 

f x

的单调性；

【解析】函数

 

f x

的定义域为

(0, )

( ) 1 m m

f x x x



  

2 2

1 ( 1)[ ( 1)]x mx m x x m

x x

     

 

，

因为

1m>

，所以

1 0m 

，

① 当

0 1 1m  

，即

1 2m 

时，

由

 

0f x



得

1x

或

1x m 

，由

 

0f x



得

1 1m x  

，

所以

 

f x

在

 

0, 1m

，

 

1, 

上是增函数，在

 

1,1m

上是减函数；

② 当

1 1m 

，即

2m

时

 

0f x



，所以

 

f x

在

 





上是增函数；

③ 当

1 1m 

，即

2m

时，由

 

0f x



得

1x m 

或

1x

，由

 

0f x



得

1 1x m  

，所以

 

f x

在

 

0,1

，

 

1,m 

.上是增函数，在

 

1, 1m

.上是减函

综上可知：

当

1 2m 

时

 

f x

在

 

0, 1m

，

 

1,

上是单调递增，在

 

1,1m

上是单调递减；

当

2m

时，

 

f x

在

 





.上是单调递增；

当

2m

时

 

f x

在

 

0,1

，

 

1,m 

上是单调递增，在

 

1, 1m

上是单调递减.

变式 2、（2020 届山东省潍坊市高三上期末）已知函数

   

( ,)1

f x ae x a R g x x    

(1)讨论函数

 

f x

的单调性;

【解析】(1)

 

f x ae

 

，

当

0a

时，

 

' 0f x 

恒成立，

 

f x

在

( )  ，

上单调递减，

当

0a

时，由

 

' 0f x 

，解得

x lna 

，

由于

0a

时，导函数

 

f x ae

 

单调递增，

故

( )x lna  ，

，

   

0,f x f x



单调递减，

   

( ), , 0,x lna f x f x



   

单调递增.

综上，当

0a

时

 

f x

在

( )  ，

上单调递减;

当

0a

时，

 

f x

在

( )lna ，

上单调递减，在

,( )lna 

上单调递增. .

变式 3、（2020 届山东省烟台市高三上期末）已知函数

2 2

1 3

( ) ln 2

2 4

f x x ax x ax x

 

   

 

 

，其中

0a e 

（1）求函数

( )f x

的单调区间；

【解析】（1）函数

( )f x

的定义域为

 

| 0x x 

     

1 1 3 1 3

ln 2 ln 2

2 2 2 2

f x x a x x ax a x x a x x a a x

 

            

 

 

   

ln ( )(ln 1)x a x x a x a x      

令

 

0f x



,得

x a

或

x e

因为

0a e 

,当

0x a 

或

x e

时,

 

0f x



 

f x

单调递增；

当

a x e<

时,

 

0f x



 

f x

单调递减,

所以

 

f x

的增区间为

 

0,a

 

,e

；减区间为

 

,a e

变式 4、（2020 届山东省临沂市高三上期末）函数

 

1 lng x ax b x  

（

, , 0a b ab R

）.

（1）讨论

 

g x

的单调性；

【解析】（1）解：

 

g x

的定义域为

 





，

 

g x x b



，

当

0a

，

0b

时，

 

0g x



，则

 

g x

在

 





上单调递增；

当

0a

，

0b

时，令

 

0g x



，得



，令

 

0g x



，得

 

，则

 

g x

在

0, b

 

 

 

上单调递

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